Algebra de boole

TEOREMAS SOBRE LA UNICIDAD
1.a. El elemento 0 es único.
1.b. El elemento 1 es único.
Demostración de 1.a.
Por contradicción, supóngase que 0 y 01 son neutros aditivos, por lo que deben satisfacer al postulado P.3.a, es decir:
A + 0 = A
A1 + 01 = A1
Si A1 = 0 y A = 01 y como 0 es neutro, por suposición, entonces:
01 + 0 = 0                (1)
Además como 01 es neutro, porsuposición, entonces:
0 + 01 = 0                     (2)
De (1) y (2) se tiene:
01 = 0 con lo que se demuestra el teorema.
TEOREMAS SOBRE LA EQUIPOTENCIA.
2.a. A + A = A
2.b. A . A = A
Demostración de 2.a.
A + A = (A + A) . 1               (P.3.b.)
A + A = (A + A) . (A + A')       (P.6.a.)
A + A = A + (A . A')              (P.5.a)
A + A = A + 0                    (P.6.b.)
A + A = A                              (P.3.a.)
3.a. A + 1 = 1
3.b. A . 0 = 0
Demostración de 3.a.
A + 1 = 1 . (A + 1)                (P.3.b)
A + 1 = (A + A') . (A + 1)    (P.6.a)
A + 1 = A + (A' . 1)            (P.5.a)
A + 1 = A + A'                    (P.3.b)
A + 1 = 1                              (P.6.a)
TEOREMAS DE ABSORCIÓN.
4.a. A + (A . B) = A
4.b. A . (A + B) = ADemostración de 4.a.
A + (A . B) = (A . 1) + (A . B)         (P.3.b.)
A + (A . B) = A . (1 + B)                (P.5.b.)
A + (A . B) = A . 1                        (T.3.a.)
A + (A . B) = A                             (P.3.b.)
T.5. El elemento A' es único.
Demostración
Por contradicción, supóngase que existen dos elementos distintos A'1 y A'2, tales que satisfacen los postulados P.6.a. yP.6.b., es decir:
A + A'1 = 1   y   A + A'2 = 1
A . A'1 = 0   y   A . A'2   = 0
Entonces:
A'2 = 1 . A'2                                 (P.3.b)
A'2 = (A + A'1) . A'2                     (por suposición)
A'2 = (A . A'2 ) + (A'1 . A'2)  (P.5.b.)
A'2 = 0 + (A'1 . A'2)   (por suposición)
A'2 = (A . A'1) + (A'1. A'     (por suposición)
A'2 = (A + A'2) . A'1                     (P.5.b)
A'2 = 1 . A'1                  (por suposición)
A'2 = A'1                                     (P.3.b.)
T.6. Para toda A en M, A = A''
Demostración
Sea A'' = X, por tanto:
A' + X = 1   y   A' , X = 0            (P.6.)
Pero:
A' + A = 1   y   A' . A = 0      (P.6.)
           Así que tanto X como A' satisfacen el postulado P.6. como el complemento de A, por tanto:
X = A, es decir, A'' = A
TEOREMAS DE ABSORCIÓN
7.a. A . [(A + B) + C] = [(A + B) + C] . A = A
7.b. A + [(A . B) . C] = [(A . B) . C] = A
Demostración de 7.a.
A . [(A + B) + C] = A . (A + B) + (A . C)                    (P.5.b.)
A . [(A + B) + C] = (A . A) + (A . B) + (A . C)             (P.5.b.)
A . [(A + B) + C] = A + (A . B) + (A . C)                     (T.2.)
A . [(A + B) + C] = A . (1 + B + C)                          (P.5.b.)
A . [(A + B) + C] = A . 1                                               (T.3.)
A . [(A + B) + C] = A                                                   (P.3.b.)
TEOREMAS SOBRE LA ASOCIACIÓN.
8.a. A + (B + C) = (A + B) + C
8.b. A . (B . C) = (A . B) . C
Demostración de 8.a.
Sea:
Z = [(A + B) + C] . [A + (B + C)]
Z = {A . [(A + B) + C]} + {(B + C) . [(A + B) + C]}           (P.5.b.)
Z = A + {(B + C) . [(A + B) + C]}                                    (T.7.)
Z = A + {B . [(A + B) + C] + C . [(A + B) + C]}               (P.5.b.)
Z = A + {B +C . [(A + B) + C]}                                      (T.7.)
Z = A + (B + C)                                                             (T.7.)            (1)
Como:
Z = [(A + B) + C] . [A + (B + C)]
Z = {(A + B) . [A + (B + C)]} + {C . [A + (B + C)]}          (P.5.b.)
Z = {(A + B) . [A + (B + C)]} + C                                   (T.7.)
Z = {A . [A + (B + C)] + B . [A + (B + C)]}...