Algebra De Matrices

ELEMENTOS DE
ÁLGEBRA MATRICIAL
Ezequiel Uriel

1 DEFINICIONES
Matriz
Una matriz de orden o dimensión n × p - o una matriz ( n × p )- es una
ordenación rectangular de elementos dispuestos en n filas y p columnas de la
siguiente forma:
 a11
a
21
A=
 ...

 an1


a12
a22
...
an 2

... a1 p 
... a2 p 

... ... 

... anp 


(1)

A la matriz anterior lahemos designado de forma abreviada mediante el
símbolo A. En general, para designar a una matriz utilizaremos una letra
mayúscula en negrita. Un elemento genérico de la matriz A se designa mediante
aij donde el primer subíndice i hace referencia a la fila en que está situado el
elemento, mientras que el segundo subíndice j hace referencia a la columna.

1

Ejemplos
 2 3 4
A=

 6 −53 

 1 4 6
B =  2 3 11


 −7 4 8 



Una matriz de orden 1 × 1 es un escalar.
Matriz transpuesta
La transpuesta de una matriz A (n × p) es una matriz B (p × n), obtenida
mediante intercambio de filas y columnas, de forma que

bij=aji

i=1,2,...,p;

j=1,2,...,n

(2)

En general, a la matriz transpuesta de A la denominaremos A′ .

Ejemplos
Las transpuestas de lasmatrices del ejemplo anterior son las siguientes:
2 6
A′ =  3 −5


4
3



 1 2 −7 
B′ =  4 3 4 


 6 11 8 



Vector columna y vector fila
Un vector columna de orden n es una ordenación de elementos dispuestos
en n filas y 1 columna de la siguiente forma:
 a1 
a 
a =  2
 ... 

 an 


(3)

Al vector columna anterior lo hemosdesignado de forma abreviada
mediante el símbolo a. En general, para designar a un vector columna
utilizaremos una letra minúscula en negrita.
Un vector fila de orden n es una ordenación de elementos dispuestos en 1
filas y n columnas. El transpuesto de un vector fila es un vector columna. En

2

general, a un vector fila le designaremos por una letra minúscula seguida de
apóstrofe. Así, eltranspuesto de a dado en (3) es
a′ = [ a1

a2 ... an ]

(4)

Matriz cuadrada
Se dice que una matriz es cuadrada si el número de filas es igual al
número de columnas. Se dice que una matriz cuadrada es de orden n si tiene n
filas.

Ejemplo de matriz cuadrada
 8 −7 4 
A =  −2 10 3 


 9 12 15



Traza de una matriz
En una matriz cuadrada de orden n la diagonal principalestá formada por
los elementos aii (i=1,2,...,n). La traza de una matriz cuadrada A, a la que
designaremos por tr(A), o por traza(A), es la suma de los elementos de la
diagonal principal. Por lo tanto,
n

tr ( A) = ∑ aii

(5)

i =1

Ejemplo:
La traza de la matriz A del ejemplo anterior es

tr ( A) = 8 + 10 + 15 = 33
Matriz simétrica
Se dice que una matriz cuadrada es simétrica sise verifica que

A = A′

(6)

3

Ejemplo:
 3 4 −1
A=4 5 2


 −1 2 1 



Matriz diagonal
Se dice que una matriz cuadrada es diagonal cuando todos los elementos
situados fuera de la diagonal principal son nulos. Es decir, en una matriz diagonal
se verifica que aij= 0 para i distinto de j. Así, la siguiente matriz es diagonal:
 a11
0
A=
 ...

0


0
a22...
0

0
... 0 

... ... 

... ann 

...

(7)

Matriz escalar
Se dice que una matriz diagonal es escalar cuando todos los elementos de
la diagonal principal son idénticos. Es decir, en una matriz escalar se verifica que
aii= k para todo i.

Matriz identidad
Una matriz identidad es una matriz escalar en la que aii= 1. A la matriz
identidad se le denomina I. Así, unamatriz identidad genérica tiene la siguiente
configuración:
1 0
0 1
I=


0 0

0
0



1

(8)

2 OPERACIONES CON MATRICES
Igualdad de matrices
La igualdad de dos matrices A=B se cumple si, y solamente si, A y B son
del mismo orden y aij=bij para todo i y todo j.

4

Suma de matrices
La suma de las matrices A y B de orden n × p es igual a una matriz C,
también de...