Algebra de vectores 4

P = 28,12°;

Y = 180° - 4 5 ° - 2 8 ° = 1 0 7 ° ;

0 = 180° - 107° = 73°

Luego: c= ^J (3)2 + (2)2 - 2(3.2) Cos 107°
0=

4,06 km. (Distancia total); 6 = 73° (Dirección Noroeste N-0)

3.8.6.- Hallar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo^de_l^ recta que
pasa por (3, 2, -1) y (2, - 1 , 4) en el campo de fuerzas dado por: F = 4 i - 3 j + 2K
SOLUCION:

GRAFICAS:

Trazamos los radiosvectores
con los puntos, desde el origen
del sistema, luego calculamos la
distancia
entre
lo|
puntos
obteniendo el vector C,

Y'
~* /

o"

Finalmente, aplicamos el produc
to escalar:

Jf
/

/

W = R C

sean:

/ ^

" ' P J - ^ S

/

\7

r 1= 3 i 4- 2 j -k
r 2 = 2 i - j + 4k
C = r2 - r1
C = (2-3)T+ (-1-2)7'+(4-(-1))l^
->
->
->
C = -i -3 j + 5 k
Ahora W = F. C
W = (47 - 3 j + 2k) . (-'r-3j + 5k)
W =( 4 . ( - 1 ) ) + (-3) .(-3) + (2). (5)

f.

W = -4 +9 +10
W = 15
3.8.7.- Dados los vectores

A (3,4,0) y B (4,2, -4J determinar:

1)

Su suma A + B

^

•

2)

El módulo y cosenos directores de A

3)

El vector unitario a lo largo de A

4)

Si son perpendiculares A y B

5)

El producto escalar A.B

—>

180

GRAFICA:

—>

—'

6)

La proyección de A sobre B

7)

El producto vectorial A X B

8)

Elárea del paralelogramo que determina.

GRAFICA:

SOLUCION:
>
->
->
->
= 3 i + 4 j + ok
= 4 i + 2j - 4k
B = (3 + 4) U (4 + 2 ) T +
-»
^
->
->
B = 7i + 6 j - 4 k
1

=V

Ax2 + Ay2

1

=V

(3)2

(4)2

_

3

(0-4)?

1=5

Ax

Cos a =

- 0.6 ; Arcos (0.6) - a - 53°

5
Ay

Cosp =

4

= 0.8 ; Arcos (0.8) - P - 37°

5

Cos Y =

.

Az

0

lAl

5

= 0 : Arcos (o) = y = 90°

A

->
3 i + 4 j

IAI

^/ (3)2 +(4)2

3 r
5

.

4

—>

5

i

^

->
->
3 i + 4 j
^

= 0.6 i + 0.8 j

4) Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es nulo._al ser de 90" el
ángulo que forman. Por tanto, se halla el producto escalar^/.^B/y si es nulo,
ambos serán perpejTdiculares.
A . B = (3.4) + (4.2) +0(-4)
A . B = 20
181

por consiguiente, NO SON PERPENDICU1_ARES.
5)

El producto escalar:
A . 6"= (Ax . Bx) + (Ay .By) + (A^ . B^)
A . 6^= (3 . 4) + ( 4 . 2 ) + 0(-4)
A . B = 20

6)

—>

—>

La proyección de A sobre B es:
A .B

proy. de A =

20

20

^ | (4)2 + (2)2 + (-4)2
proy. de A _=
7)

El producto vectorial:

->

->

AXB =

8)

i

j

k

3

4

0

4

2

-4

10

->

= i

4

0

2

-4

•J

3

0

4

-4

—>

+ k

->

—>

—

3

4 = -16 i + 1 2 j - 10 k

4

2

El área del paralelogramo es igual al módulo delproducto vectorial:
S= I A X B ^ I = V

(-16)2 + (12)2 + (.io)2

22,36 u2

3,5.5.- Un vector cuya magnitud es 100 unidades tienen una línea de acción cuyos
cosenos directores son:
C o s a = 0.7 ; Cosp = 0.2 relativos a un sistema de coordenadas XYZ. Si el vector
e^tá localizado en el primer octante y se aleja del origen, escribir en ténninos de i, j ,
k.
DATOS:

GRAFICA:

\ I = 100 u
C o s a = 0.7
Cosp= 0.2

d b s r =•••
A

= i, j , k...,

182

SOLUCION:
Calculamos el Cos y, aplicando la Ec. de los Cosenos directores
C o s ^ a + Cos^p + C o s ^ Y = 1
C o s ^ Y = 1 - C o s ^ a - Cos^p
COS2Y = 1 - (0.7)2 ^ (0.2)2
COS2Y = 0.47

,

Cos

Y

Cos

Y

47

=0.68557

= 0.69

->->->
Luego transformamos en términos de i, j , k
^
->
A = Ax i + Ay j + Az k
Cosa=—

> A x = I A I C o s a = 100(0.7)

=70IAI
Cosp=

^ - ^ A

= [ A I C o s p = 100(0.2)

=20

I A
COSy = -

Az

^

\ IAI

IAI

COS

Y

= 100 (0.69)

Luego A = 70

=69

i + 20

J + 69 k

]^ 3.8.9.- Un avión de aeromodelismo despega en la dirección N60°E, ángulo de
elevación de 30°: luego de volar en línea recta 60 m gira en la dirección S-E, ángulo
de depresión de 60° y luego de recorrer en línea recta 30 m, se estrella contra un
árbol.Determinar:
-La posición del árbol en el espacio en función los unitarios i, j , k, respecto al punto
de despegue del avión.
DATOS:
f^H

60°E

e = 30°

I ?l

= 60m.

~B-^S-E

(Gira)

e = 60°

I

B

i

= 30 m

R= ...Posición del árbol,
183

SOLUCION:
Cos 30'
A^z = 60 Cos 30°

Ax = Ax2 Sen 60°

A^ = -Axz Cos 60°

A y = | A |Sen30°

Ax = 52 Sen 60°

Az = -52 Cos 60°

Ay = 60 Sen 30°

A^ = -26 m.

Ay =...