Algebra De Vectores

1. Algebra De Vectores
Espacios vectoriales de uso común
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
Vectores en Rn
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos porrepresentar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),…
Matrices m \times n
Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.
Espacio vectorial depolinomios en una misma variable Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
Ejemplos de tales polinomios son:
4x^2–5x+1,\quad \frac{2x^2}{7}−3,\quad 8x+4,\quad 5
La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2:
(3x^2–5x+1) + (4x-8) = 3x^2 -x −7
El campo deescalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:
5\cdot(2x + 3) = 10x + 15
Donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).
Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:
D (3x^2 - 5x +7 ) = 6x - 5. El operador derivada satisface las condiciones delinealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:
D( (4x^2 + 5x-3) + (x^2 -x −1)) = D(5x^2 +4x −4)=10x + 4
y por otro lado:
D(4x^2+5x-3) + D(x^2-x-1) = (8x+5)
+ (2x-1) = 10x +4.
Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a \mathbb{R}^n, lo cual se obtiene mediante la elección de unabase (álgebra) (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.
1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica
Un objeto en las matemáticas queposea magnitud así como dirección es la definición perfecta de un vector. Los elementos pertenecientes a Rn representan el vector. Diferentes valores de n representan diferentes vectores con diferente comportamiento. Por ejemplo, cuando n = 1, esto es, R1 = R representa una escala o un punto en el vector. R2 representa un vector de la forma (x1, x2), R3 representa un vector de la forma (x1, x2,x3).
Existen dos propiedades importantes de los vectores R2:
1). Suma de los vectores R2: Si p y q son dos vectores de la forma R2 entonces p + q = (p1, p2) + (Q1, Q2) = (p1 + q1, p2 + q2).
2). Producto Escalar: Considere B ? R y un vector P en R2, en este caso el producto escalar es de la forma
B (p1, p2) = (B p1, B p2).
Vamos a considerar la interpretación geométrica de la Sumatoria de losvectores R2:

De la figura se puede concluir que si p = (p1, p2) y q = (q1, q2), entonces mediante la reasignación de la representación de p y q, la suma resulta ser (p1, p2) + (q1, q2) = (p1 + q1, p2 + q2). Esta regla se conoce como: “Suma del Paralelogramo”.
Estos vectores R2 también pueden ser divididos en dos componentes los cuales son perpendiculares entre sí. Estos componentes son generados conrespecto al sistema de coordenadas el cual pueden ser de múltiples dimensiones.

El vector componente está relacionado con el componente escalar b, de forma que:
 = Vx i^
 = Vy j^
Similar al vector R2, R3 también posee las propiedades:
1. Suma de vectores R3: Si p y q son dos vectores de la forma R3 entonces p + q = (p1, p2, p3) + (q1, q2, q3) = (p1 + q1, p2 + q2, q3 + p3).
2. Producto Escalar:...