Algebra Funciones

Rudimentos 7: Funciones

Este Capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitir´n al estudiante, clasificar
a
conjuntos, usando como herramienta central las propiedades cualitativas de las funciones y de sus gr´ficos.
a
Estudiaremos en primer lugar, la t´cnica de inyectar un conjunto A en otro conjunto B, con el fin de copiar
e
B por defecto (por el interior).
Ensegundo lugar, estudiaremos la t´cnica de cubrir un conjunto B por otro conjunto A, con el fin de copiar
e
B por exceso (por el exterior).
Finalmente haremos coexistir, si es posible, ambas t´cnicas y concluiremos si los conjuntos son comparables
e
o no.

1. Ideas B´sicas
a
Si deseamos inyectar un conjunto en otro entonces, ya tenemos predeterminado un orden de actuaci´n, es
o
decir debehaber una relaci´n entre los elementos del conjunto que se inyecta y los del conjunto inyectado.
o
Ejemplo 1.1. Si A = {2z | z ∈ Z} y B = Z entonces podemos definir naturalmente la relaci´n ψ:
o
(∀z; z ∈ Z)

2z ψ 2z

Es decir, una inclusi´n natural de los enteros pares en los enteros y la podemos simbolizar como
o
{· · · , −2, 0, 2, 4, · · · } ֒→ {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 · · · }
2ZZ

Aqu´ podemos identificar los pares en los enteros, e incluso podemos graficar este comportamiento en el plano
ı
cartesiano:
Eje y
·
··
• (6, 6)
• (4, 4)
• (2, 2)
•
(0, 0)
(−2, −2) · •
··

Figura 1

Respecto del dominio y la imagen de la relaci´n ψ tenemos:
o
• dom(ψ) = 2 Z = {2k | k ∈ Z} = {· · · , −2, 0, 2, 4, · · · }
• Img(ψ) = 2 Z

Z, (Por ejemplo 3 ∈ Img(ψ))
1

Ejex

2

• Img(2k) = {2k}, para cada k ∈ Z. As´ que podemos notar sin ambig¨edad ψ(2k) = 2k para cada
ı
u
k ∈ Z, y en este caso, ψ se comporta como la relaci´n identidad
o
• Adem´s, ψ(2k1 ) = ψ(2k2 ) =⇒ 2k1 = 2k2 . As´ que
a
ı
2k1 = 2k2 =⇒ ψ(2k1 ) = ψ(2k2 )
Ejemplo 1.2. Podemos tambi´n definir la relaci´n ϕ como sigue
e
o
z ϕ 2z

(∀z; z ∈ Z)

Es decir, una relaci´n entre enterosy pares y la podemos simbolizar como
o
{· · · , −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 · · · } ֌ {· · · , −4, −2, 0, 2, 4, · · · }
Z

2Z

Aqu´, a cada entero le asociamos o lo transformamos en un par, es decir la acci´n es multiplicar por 2, al
ı
o
igual que en el caso anterior podemos graficar este comportamiento en el plano cartesiano:
Eje y
·
·
·
• (3, 6)
• (2, 4)
• (1, 2)
•
(0, 0)

Eje x(−1, −2) ·•
·
·
Figura 2
Respecto del dominio y la imagen de la relaci´n ψ tenemos:
o
• dom(ϕ) = Z
• Img(ϕ) = 2 Z

Z, (Por ejemplo 3 ∈ Img(ϕ))

• Img(k) = {2k}, para cada k ∈ Z. As´ que podemos notar sin ambig¨edad ϕ(k) = 2k para cada k ∈ Z,
ı
u
y en este caso, ϕ no se comporta como la relaci´n identidad
o
• Adem´s, ϕ(k1 ) = ϕ(k2 ) =⇒ 2k1 = 2k2 =⇒ k1 = k2 . As´ que
a
ı
k1 = k2=⇒ ϕ(k1 ) = ϕ(k2 )
Ejemplo 1.3. Ahora consideremos la relaci´n entre enteros φ definida como sigue:
o
z φ z2

(∀z; z ∈ Z)

´
1. IDEAS BASICAS

3

La podemos simbolizar como
{· · · , −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 · · · } ֌ {· · · , 0, 1, 4, 9, · · · }
Z

Z

Aqu´, a cada entero le asociamos su cuadrado, al igual que en el caso anterior podemos graficar este comı
portamiento en el planocartesiano:
Eje y

(−3, 9) •

• (3, 9)

9
•

•
•

−3

•

•

Eje x

3

Figura 3
Respecto del dominio y la imagen de la relaci´n φ tenemos:
o
• dom(φ) = Z
• Img(φ) = {0, 1, 4, 9, . . . }
• Img(k) = {k2 }, para cada k ∈ Z. As´ que podemos notar sin ambig¨edad ϕ(k) = k2 , para cada k ∈ Z
ı
u
2
2
ı
• Adem´s, φ(k1 ) = φ(k2 ) =⇒ k1 = k2 =⇒ (k1 + k2 )(k1 − k2 ) = 0 =⇒ k1 =k2 ∨ k1 = −k2 . As´ que
a

k1 = k2 =⇒ φ(k1 ) = φ(k2 )
Pues, 2 = −2 ∧ φ(2) = φ(−2) = 4
Ejemplo 1.4. Ahora consideremos la relaci´n entre enteros θ definida como sigue:
o
zθ

√

z

(∀z; z ∈ Z)

Aqu´ tenemos un problema porque, la ra´z merece un an´lisis cuidadoso en el siguiente sentido:
ı
ı
a
√
z ∈ Z ⇐⇒ z ≥ 0 ∧ z = u2

(Para alg´n u; u ∈ Z)
u

{· · · , 0, 1, 4, 9, 16 · · ·...