algebra lineal transformacion lineal
TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición 4.1 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, una transformación lineal de V en W es una función T: V W tal que:
T(u + v) = T(u) + T (v) u, v V
T( u) = T ( u) u V , IK.
Proposición 4.2 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T: V Wtransformación lineal, entonces:
a) T( 0v ) = 0w
b) T(-v) = - T (v) , v V
c) T( u - v) = T(u) - T(v) , u, v V
Proposición 4.3 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, entonces T :V W es una transformación lineal si y sólo si T ( u+ v) = T(u) + T (v) , K, u, v V.
Corolario 4.4 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W una transformación lineal, entonces T preserva las combinaciones lineales , esdecir si v1,.....,vn V y 1, ..... ,n K se tiene que T .
Teorema 4.5 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K, tal que dim V = n < y {v1,....,vn} una base ordenada de V. Supongamos que {w1,....,wn} es subconjunto de W, entonces existe una única transformación lineal T: V W tal que T(vi) = wi i = 1,.....,n.
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓNLINEAL
Definición 4.7 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T : V W una transformación lineal .El núcleo (o kernel) de T es el conjunto KerT ={vV / T(v) = 0w}. La imagen de T es el conjunto Im T = { w W / v V : T (v) = w } = { T(v) / v V =T(V) }.
Proposición 4.8 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo K y T: V W una transformación lineal,entonces Ker T V e Im T W.
Definición 4.9 Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo IK y
T: V W es una transformación lineal. Entonces dim ( Ker T ) se llama nulidad de T y dim ( Im T ) se llama rango de T .
Teorema 4.10 Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, dim V < y T : V W una transformación lineal, entonces dim V = dim Ker T + dim Im T.
Corolario 4.11 Sea A Mnxm ( IK) entonces la dimensión del espacio fila de A es igual a la dimensión del espacio columna A, es decir rango A = rango At.
Proposición 4.12 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T: V W una transformación lineal entonces T es inyectiva si y sólosi Ker T = { 0 }
Proposición 4.13 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK tales que dim V = dim W = n < y T: V W una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y solo si T es epiyectiva.
ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Teorema 4.14 Sean V , W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK . T : V W y L : V W transformaciones lineales, entonces:
a) La función T + L : V W definida por ( T + L )(v) = T (v) + L (v) v V es una transformación lineal.
b)La función T : V W con IK , definida por (T )(v) = (T(v) ) v V es una transformación lineal.
Proposición 4.15 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK,entonces el conjunto L( V , W) = {T : V W / T es transformación lineal} es un espacio vectorial con la suma y producto por escalar definidos en el teorema 4.14.
Teorema 4.16 Sean V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK tales que dim V = n < y dim W = m < Entonces dim L( V , W) = nm.
Teorema 4.17 Sean U, V, W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK, T:...
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