Algebra practica 7 cbc

Álgebra 1
Segundo Cuatrimestre 2010 Práctica 7 - Polinomios
1. Calcular el coeficiente de X 20 de f en los casos i) f = (X − 3)133 ii) f = (X − 1)4 (X + 5)19 + X 33 − 5X 20 + 7 iii) f = X 10 (X 5 + 4)7 2. Calcular el grado y el coeficiente principal de f en los casos i) f = (4X 6 − 2X 5 + 3X 2 − 2X + 7)77 ii) f = (−3X 7 + 5X 3 + X 2 − X + 5)4 − (6X 4 + 2X 3 + X − 2)7 iii) f = (−3X 5 + X 4 − X +5)4 − 81X 20 + 19X 19 3. Hallar, cuando existan, todos los f ∈ C[X] tales que i) ii) iii) iv) f 2 = Xf + X + 1 f 2 − Xf = −X 2 + 1 (X + 1)f 2 = X 3 + Xf f = 0 y f 3 = gr (f ).X 2 f = 5X 4 + 2X 3 − X + 4, g = X 2 + 2 = 8X 4 + 6X 3 − 2X 2 + 14X − 4, g = 2X 3 + 1 = 8X 4 + 6X 3 − 2X 2 + 14X − 4, g = 2X + 1 = 6X 5 + 3X 2 − 9X + 1, g = 3X + 2 = X 9 − 3X 7 + X 6 − 2X 5 + 3X 3 − X 2 + 3, g = X 5 + 4X − 14. Hallar el cociente y el resto de la división de f por g en los casos i) ii) iii) iv) v) f f f f f

5. Determinar todos los a ∈ C tales que i) X 3 + 2X 2 + 2X + 1 sea divisible por X 2 + aX + 1 ii) X 4 − aX 3 + 2X 2 + X + 1 sea divisible por X 2 + X + 1 iii) el resto de la división de X 5 − 3X 3 − X 2 − 2X + 1 por X 2 + aX + 1 sea −8X + 4 6. Sea K = Q, R ó C. Dado h ∈ K[X], se define larelación ≡ (mod h) en K[X] como f ≡ g (mod h) ⇐⇒ h | f − g. i) Probar que ≡ (mod h) es una relación de equivalencia ii) Probar que f1 ≡ g1 (mod h) y f2 ≡ g2 (mod h) implica f1 + f2 ≡ g1 + g2 (mod h) y f1 · f2 ≡ g1 · g2 (mod h) iii) Probar que f ≡ g (mod h) implica f n ≡ g n (mod h) para todo n ∈ N iv) Probar que r = rh (f ) ⇔ f ≡ r (mod h) y r = 0 ó gr (r) < gr (h)

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Pr´ctica 7 aP´gina 2 a

7. Hallar el resto de la división de f por h en los casos i) ii) iii) iv) f f f f = X 353 − X − 1, h = X 31 − 2 = X 45 + X 28 − X 13 + 3, h = X 17 + 5 = X 1000 − X 40 + 11X 20 + 12X 2 − 2, h = X 6 + 1 = X 200 − 3X 101 + 2, h = X 100 − X + 1

8. Sea n ∈ N, sea K = Q, R ó C y sea a ∈ K. Probar que i) X − a | X n − an ii) si n es impar entonces X + a | X n + an iii) si n parentonces X + a | X n − an 9. i) Sea f ∈ Z[X] y sean a, b ∈ Z y m ∈ N. Probar que si a ≡ b (m) entonces f (a) ≡ f (b) (m) ii) Probar que no existe f ∈ Z[X] tal que f (3) = 4 y f (−2) = 7

10. Hallar todos los f ∈ Z[X] tales que √ i) f es mónico de grado 3 y f ( 2) = 5 ii) f es mónico de grado 3 y f (1) = −f (−1) 11. Hallar todos los f ∈ Q[X] y luego en Z[X] de grado 3 y 4 cuyas únicas raíces complejassean 1, − 1 y 3 2 5 12. Sea f ∈ Q[X] tal que f (1) = −2, f (2) = 1 y f (−1) = 0. Hallar el resto de la división de f por X 3 − 2X 2 − X + 2 13. Sea n ∈ N, n ≥ 3. Hallar el resto de la división de X 2n + 3X n+1 + 3X n − 5X 2 + 2X + 1 por X 3 − X i) usando congruencias ii) evaluando en puntos convenientes 14. Calcular el máximo común divisor entre f y g y escribirlo como combinación lineal de f y gsiendo i) f = X 5 + X 3 − 6X 2 + 2X + 2, g = X 4 − X 3 − X 2 + 1 ii) f = X 6 + X 4 + X 2 + 1, g = X 3 + X iii) f = X 5 + X 4 − X 3 + 2X − 3, g = X 4 + 2X + 1 15. Hallar todas las raíces complejas de X 4 + 3X − 2 sabiendo que tiene una raíz común con X 4 + 3X 3 − 3X + 1 16. i) Hallar todas las raíces racionales de (a) 2X 5 + 3X 4 + 2X 3 − X (b) X 5 − 1 X 4 − 2X 3 + 1 X 2 − 7 X − 3 2 2 2 (c) 3X 4 +8X 3 + 6X 2 + 3X − 2 ii) Probar que X 4 + 2X 3 − 3X 2 − 2 no tiene raíces racionales i) Hallar todas las raíces complejas de f = X 5 − 4X 4 − X 3 + 9X 2 − 6X + 1 sabiendo √ que 2 − 3 es raíz de f √ √ ii) Hallar f ∈ Q[X] mónico de grado mínimo que tenga a 1 + 2 5 y a 3 − 2 como raíces

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Pr´ctica 7 a

P´gina 3 a

√ √ iii) Sea f ∈ Q[X] unpolinomio de grado 5. Probar que si 2 y 1 + 3 son raíces de f entonces f tiene una raíz racional √ √ √ iv) Sea f ∈ Q[X] tal que f (1 + 2) = 3, f (2 − 3) = 3 y f (1 + 5) = 3. Calcular el resto de la división de f por (X 2 − 2X − 1)(X 2 − 4X + 1)(X 2 − 2X − 4) 18. Hallar f ∈ Q[X] de grado mínimo tal que
1 i) f (1) = 3, f (0) = 4 , f ( 1 ) = 3 y f (−1) = 1 2 1 ii) f (2) = 0, f (−3) = 2 , f (3) = −1 y f...