Algebra Resumen

Á LG EB R A II
Indice
Revisión de Matrices............................................................................................................. 2 Práctica 1: Espacios Vectoriales ........................................................................................... 3 Práctica 2: Producto Interno................................................................................................. 4 Práctica 3: Proyecciones y Matrices de Proyección ............................................................. 5 Práctica 4: Transformaciones Lineales ................................................................................. 8 Práctica 5: Autovalores y Autovectores .............................................................................. 10 Práctica 6: Diagonalización dematrices hermíticas, formas cuadráticas, DVS .................. 12 Ecuaciones Diferenciales.................................................................................................... 15 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales ................................................................. 18

1

con

Revisión de Matrices
1) Propiedades de las matrices
a. b. c. d. e.2) Propiedades de los determinantes
Sean a) b) : , , , , , ,

c) Si una fila de A se suma a k.(otra fila) para producir una matriz B, d) Si dos filas de A se intercambian de lugar para producir B, e) Si una fila de A se multiplica por k para producir B, f) Si toda la matriz A se multiplica por k para producir B, g) Si es una matriz triangular, .

3) Espacios fila, nulo y columna de matricesSea :

es inversible Sean a) b) c) Si d) Si e) y

es inversible , entonces: (son iguales si (son iguales si )

4) Matrices equivalentes y semejantes
Matrices equivalentes: dos matrices A y B son equivalentes si existen otras dos matrices E y F regulares tal que . Dos matrices equivalentes pueden pensarse como dos descripciones si y solo 2 de una misma TL, pero con respecto a bases distintas.Matrices semejantes: dos matrices cuadradas A y B son semejantes (notamos si existe una matriz P invertible tal que ó . Dos matrices semejantes pueden

pensarse como dos descripciones de un mismo operador lineal, pero con respecto a bases distintas. Estas dos matrices cumplen que: a) b) c) d)

Práctica 1: Espacios Vectoriales
1) Propiedades de los subespacios
es un subespacio vectorial delespacio

2) Independencia lineal
es una combinación lineal de son todos nulos. es LI si y Dos vectores son LD si son proporcionales. Un subconjunto de un conjunto LI sigue siendo LI. si y no

3) Operaciones con subespacios
Sean a) . b) de c) ó d) base de espacio. . Unión: . Suma directa: . están en suma directa es un subespacio cuando Suma: , donde es base subespacios de . Intersección:dim dim dim dim dim dim

n n 2n

n+1

la unión de sus bases es

Dos subespacios son suplementarios cuando están en suma directa y su suma es todo el

4) Bases
Si , es base de

5) Coordenadas de un vector en una base
Si y , entonces Dado un vector y una base, las coordenadas de ese vector en esa base son únicas. y es LI es LI para cualquier base B. 3

6) Matriz de pasaje
Sean ybases del espacio .

Además: si

y

son bases ortonormales, entonces

es una matriz ortogonal.

7) Teorema de la dimensión

Práctica 2: Producto Interno
1) Axiomas
Sea a. b. c. d. e. f. , (si , , y y , entonces ) y

2) Productos internos canónicos (PIC)
En En En En En En En En : : : : : : : :

3) Definiciones
a. b. Ortogonalidad: Norma de un vector: i. 4 . . La norma depende delPI.

Propiedades:

ii. iii.

(

) , . entonces . La recíproca sólo , con , . EPI real. . . Son iguales si .

iv. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: v. Desigualdad triangular: vi. Teorema de Pitágoras: si vale para vii. Identidad del paralelogramo: c. d. Ángulo entre 2 vectores:

Complemento ortogonal de un conjunto en un EPI: Sea

. Para el cálculo del complemento ortogonal a un...