Algebra lineal resumen

Buenas noches Ing. Y compañros
DEFINICIONES Y DEMOSTRACIONES BÁSICAS

Estructura Algebraica: es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.
En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.


Ley de composición interna: es una aplicación o funcióndel producto cartesiano de en definida en un conjunto no vacío A

En símbolos: es una ley interna en
Es decir:

Ejemplo
Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto
A = {a , b , c }

i)




ii)







Ley de composición externa: una ley de composiciónexterna definida en A con operadores de B es toda función ó aplicación de en A.
En símbolos

es ley externa en A con operadores en B A
es decir, si y la imagen del par (b ; a) = b a A



Grupo: sea el par (A , ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria :

(A , ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:

es asociativa.Es decir , , : a, b, c A
posee elemento neutro en A. Es decir / , si
Todo elemento de A es invertible en A respecto de .
Es decir , /

Grupo Abeliano (Grupo conmutativo) es cuando además de ser un grupo,

es conmutativa. Es decir , : a, b A

Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llamaorden del grupo.




Cuerpo: la terna ordenada ( A , + , ) es un cuerpo, o tiene estructura de cuerpo si y solo si
( A , + , ) es un anillo de división conmutativo.

Esto es: ( A , + , ) es un cuerpo si y solo si ( A , + , ) es un anillo conmutativo, con unidad cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.

Un cuerpo queda caracterizado por las siguientes estructuras:

( A , + , ) esun cuerpo si y solo si a) ( A , + ) es un grupo abeliano.
b) ( A – {0} , ) es un grupo abeliano.
c) distribuye respecto de +



Todo cuerpo es un dominio de integridad.




Anillo: dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna y , la terna ordenada (A , , ) tiene estructura de Anillo si y solo si

es asociativa. Es decir , , : a, b, c Aposee elemento neutro en A. Es decir / , si

Todo elemento de A es invertible en A respecto de .
Es decir , /

es conmutativa. Es decir , : a, b A

Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.

es asociativa. Es decir , , : a, b, c A (a b) c = a ( b c)

Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo.distribuye doblemente sobre . Es decir, , , : a, b, c A
a (b c ) = ( a b ) (a c ) y (b c ) a = (b a ) ( c a )

Entonces podemos decir que:
(A , , ) es un Anillo sii (A , ) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera.





















Buenas noches Ing. Y compañeros
DEFINICIONES Y DEMOSTRACIONES BÁSICASEstructura Algebraica: es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.
En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.
 Ley de composición interna: es una aplicación o función  del producto cartesiano de  en  definida en un conjunto no vacío A.Simbologia
es una ley interna en  A <---> *: AxA --> A 
es decir: (a1,a2) ----> a1 * a2
Ley de composición externa: una ley de composición externa definida en A con operadores de B es toda función ó aplicación  de  en A.
En símbolos
A <---> *: BxA --> A 
es decir: (b,a) ----> b * a ; a pertenece A
Segun las propiedades que deben satisfacer estas leyes se tienen los distintos tipos de estructuras...