Algebra Y Geometria - Zill

1 (1) (a) Calcule m′ ( 2 ), donde

m(x) = Respuesta : m′ (x) =

arctan 2x 1 + 4x2

Usando la regla del cuociente y de la cadena, (arctan(2x) )′ (1 + 4x2 ) − arctan(2x)(1 + 4x2 )′ ( 1 + 4x2 )2
2 1+4x2

= =

(1 + 4x2 ) − 8x arctan(2x) ( 1 + 4x2 )2

2 − 8x arctan(2x) ( 1 + 4x2 )2

(2 ptos.)

Evaluando en x = 1/2 y usando que arctan(1) = π/4 obtenemos 1 2 1 π 2 − 4 arctan(1) = − . 2(1 + 1) 2 4

m′

=

(1 pto.)

(b) Considere la curva C en el plano definida por C = {(x, y) : 4x3 + xy 2 + y 3 = 6} Determine la recta tangente a la curva C en el punto (1, 1). Respuesta : Como la recta pasa por (1, 1 tiene ecuaci´n del tipo o (1 pto.)

y = 1 + m(x − 1) , donde m = y ′ (1, 1) Derivando impl´ ıcitamente obtenemos: 12x2 + y 2 + 2xyy ′ + 3y 2 y ′ = 0. Evaluando en x = y = 1y despejando y ′ resulta: 13 + 2y ′ (1, 1) + 3y ′ (1, 1) = 0 ⇒ y ′ (1, 1) = −

(1 pto.)

13 . 5

(0, 5 ptos.)

Por tanto, la recta pedida tiene ecuaci´n o y = 1− 13 (x − 1). 5 (0, 5 ptos.)

1

(2) (a) Sea f una funci´n derivable en el intervalo abierto J con 1, 0 ∈ J e invertible o en J con inversa g. Suponga que f (0) = 1, f (1) = 3, f ′ (0) = 1, f ′ (1) = 2. Calcule la derivada deh(x) = g(x2 ) en x = 1. Respuesta : Por la regla de la cadena tenemos que ⇒ h′ (1) = 2 g ′ (1) (0, 5 ptos.)

h′ (x) = 2x g ′ (x2 )

Por la regla para la derivada de la inversa tenemos que g ′ (1) = 1 f ′ ( g(1) ) (1 pto.)

Como f (0) = 1 tenemos que g(1) = 0 y por lo tanto, f ′ ( g(1) ) = f ′ (0) = 1. Reemplazando encontramos que h′ (1) = 2 = 2. 1 (0, 5 ptos.) (1 pto.)

(b) Considere f unafunci´n derivable en a con f ′ (a) = 5. Calcule o f (a − 2h) − f (a) h→0 h lim Respuesta : lim Usando algebra de l´ ımites tenemos que: = −2 lim f (a − 2h) − f (a) (−2h) f (a + u) − f (a) , u

h→0

f (a − 2h) − f (a) h

h→0

= −2 lim siendo u = −2h . (1, 5 ptos.)

u→0

Pero, por definici´n de derivada, el ultimo l´ o ´ ımite es f ′ (a) = 5. Por lo tanto, lim f (a − 2h) − f (a) = −2 · 5= −10. h (1, 5 ptos.)

h→0

(3) Un canal vac´ empieza a llenarse a raz´n de 14 m3 /min. El canal mide 50 metros ıo o de largo y su secci´n transversal es un trapecio isosceles con altura de 1 metro y o con las dimensiones dadas en la figura. Calcule la rapidez con que crece la altura del agua transcurridos 3 minutos. Respuesta : Sean h y x la altura y el ancho del agua acumulada despu´s e de tminutos, como muestra la figura:
6

x h 4

1

El volumen de agua en el instante t es, pues, V = 1 · (4 + x) · h · 50 = 25 h(4 + x) 2 (1 pto.)

Debemos relacionar solamente V y h. Por tanto, debemos eliminar x de la ecuaci´n. o Haci´ndo proporci´n de tri´ngulos en el lado derecho de la figura vemos que: e o a h = − 4) 1 − 4) ↔ 2h = 1 (x − 4) ↔ x = 4 + 2h .

1 2 (x

1 2 (6Reemplazando obtenemos: V = 50h(4 + h) ↔ V = 50h2 + 200h. (1, 5 ptos.)

Derivando con respcto a t y usando que V ′ (t) = 14 obtenemos 14 = 50(2h + 4) h′ (t) ↔ h′ (t) = 7 25 (2h + 4) (1, 5 ptos.)

Necesitamos h′ (3). Para ello debemos conocer h(3). Pero V (3) = 14 × 3 = 42 y como V = 50h2 + 200h, tenemos que, transcurridos 3 minutos, la altura h satisface la ecuaci´n o 42 = 50h2 + 200h. Las ra´ de talecuaci´n son ıces o emos cuando t = 3 min. (1 pto.)

−10 ± 11 , pero como h debe ser positivo, obten5 h = 0.2 m. (0, 5 ptos.)

entonces

Reemplazando obtenemos finalmente: h′ (3) = 7 ≈ 0.063 m/seg. 110 (0, 5 ptos.)

(4) Determine los valores a, b para los cuales la funci´n o  x2 + 1 si x ≤ 2 f (x) = x2 + ax + b  si x > 2 x−2 es continua en x = 2. Justifique su respuesta. Respuesta :
x→2+Para la continuidad se requiere que
x→2−

lim f (x) =

lim f (x) = f (2) (0, 5 ptos.)

(1 pto.)

Pero lim f (x) = 5 = f (2).
x→2−

Por lo tanto, f es continua en x = 2 si y s´lo si o lim f (x) = x2 + ax + b = 5. x→2+ x−2 lim (0, 5 ptos.)

x→2+

Como se trata de una forma indeterminada, para que el l´ ımite anterior exista se requiere que el numerador se haga cero cuando x = 2....