Algebra

Capitulo 1

CONJUNTOS

1.1 Definiciones Fundamentales

Definición.- El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que, como se verá en los ejemplos, pueden ser cualesquiera: números, personas, entes geométricos, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementoso miembros del conjunto.
La cuestión de saber si un conjunto está bien definido o no, no es trivial.

Ejemplo.- Si formamos “el conjunto de las diez mejores canciones de este año”, sin duda que cada persona formaría su propio conjunto, ya que para Don Floripondio, el de los tacos, la canción: “Mis chicharrones truenan” del grupo “Los Insultados del Norte” sería una de las mejores, mientrasque para otras personas no.

Ejemplo.- Si formamos “el conjunto de los nombres de los cinco mejores diputados en la historia de Puebla”, sin duda que cada partido político formaría su propio conjunto con sus diputados, ya que defenderían a su partido.

Ejemplo.- Si formamos el “conjunto de los tres mejores equipos de fútbol de la primera división de México”, seguramente los aguiluchos y laschivas dirán que su equipo debe estar en el conjunto, pero sabemos sin lugar a duda que eso no es cierto; ya que los Pumas si debe estar en el conjunto.
Pero algún aficionado Chiapaneco diría que los jaguares de Chipas también deben estar en el conjunto.

La dificultad de formar colecciones como en los ejemplos anteriores, es justamente que son colecciones que no están bien definidas, ya queexiste ambigüedad en los elementos que la componen.
El problema que se presenta con este tipo de “conjuntos” puede subsanarse fácilmente, si damos una definición de los objetos.

En el caso de las canciones si nos ponemos de acuerdo y decimos que se considera “mejor canción” a la pieza que haya vendido por lo menos 1 millón de discos (no contando piratas), se formaría un conjunto biendefinido.
En el caso de los diputados si definimos que se considera “buen diputado aquel que durante su periodo no haya tranzado, se formaría un conjunto bien definido.
En el caso de los equipos de fútbol si definimos como buen equipo, aquel que haya ganado por lo menos 5 torneos de liga, podríamos formar un equipo bien definido.
Si bien los conjuntos se estudian como entidades abstractas,enumeremos diez ejemplos particulares de conjuntos.
1.- Los números 1, 3, 7 y 10
2.- Las soluciones de la ecuación [pic]
3.- Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u.
4.- Las personas que habitan la Tierra
5.- Los estudiantes Tomás, Floripondia y Enrique
6.- Los estudiantes ausentes de la escuela
7.- Las colonias Loma Bella, Popular y Castillotla
8.- Las ciudades capitales de Europa
9.- Losnúmeros 2, 4, 6, 8, ...
10.- Los ríos de Veracruz

Nótese que los conjuntos de los ejemplos impares están definidos, o sea presentados, enumerando de hecho sus elementos, y que los conjuntos de los ejemplos pares se definen enunciando propiedades, o sea reglas, que deciden si un objeto particular es o no elemento del conjunto.

Notación.- Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas
A, B,X, Y,...
Definición.- Al definir un conjunto por la efectiva enumeración de sus elementos es la llamada forma extensiva, tabular o enumerativa de un conjunto Donde los elementos que forman al conjunto son separados por comas y encerrados entre llaves { }.

Ejemplo.- El conjunto A, que está formado con los números 1, 3, y 10, se escribe [pic].

Definición.- Si se define un conjuntoenunciando propiedades que deben tener sus elementos como, por ejemplo, el B, conjunto de todos los números pares, entonces se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:
B = { x / x es par }
Lo que se lee « B es el conjunto de los números x tales que x es par ». Se dice que ésta es la forma de definición por comprensión, o constructiva de un conjunto....