algebra

1.1. DEFINICIÓN Y ORIGEN Y OPRACIONES FUNDAMENTALES CON
NÚMEROS COMPLEJOS
Un numero complejo es un numero escrito de la forma z=a + bi donde a y b
son numeros reales e i es el simbolo formal que satisface la relacion i2 = -1. Se
considera que un numero real es un tipo especial de numero complejo,
identificandose a con a + 0i . Mas aun las operaciones aritmeticas con
numeros reales puedenextenderse al conjunto de numeros reales.
Interpretacion geometrica
Operaciones fundamentales con numeros complejos
Suma y multiplicacion de numeros complejos.
(a + bi ) + (c + di ) = ( a + b) + ( b + d) i.................(1)
(a + bi ) (c + di ) = ( ac + bd) + ( ad + bc) i.............(2)
Estas reglas se reducen a la suma y multiplicacion comunes de numeros reales
cuando b y d son ceros en(1) y (2).
La resta de numeros complejos se define como.
Z1 + z2 = z1 + (-1) z2
El conjugado de z = a + bi es un numero complejo z ( zeta testada) obtenemos
z cambiando el signo de la parte imaginaria
z = a – bi
Eje
Imaginario
b
z = a + b i
Eje Real
a
z = a - b i
El conjugado complejo es una
imagen reflejada
1.2 Potencias de “i” modulo ó Valor absoluto
Potencias de la UnidadImaginaria:
Valor absoluto
2 2
z zz a b
de un número complejo
1.3. forma polar y exponencial de un número complejo
Forma Polar
Sea wz w z cosϑϕisenϑϕ
El producto de dos numero complejos diferente de cero esta dado en la forma
polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El
cociente de dos numeros complejos diferentes de cero esta dado por elcociente
de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.
Forma exponencial
A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonometrica
en vez de con la forma binomica:
Sea Z un numero complejo cualquiera su representacion prdra experesarse de las
sigueientes maneras:
iz x iy COS i ⋅sen e
Im z
wz
w
.
.
.
Re z
ϑ
ϕ
ϑ−ϕ
z zForma
binomica
Forma
trigonometrica
Forma
exponencial
Figura 1.1
Donde

⋅
⋅


y sen
x cos
Y 

→

144424443
cos 1
2 2 2 2 2 2 2
2 2
cos cos
sen
z x y sen sen
Y
x
y tan
1.4. Teorema DeMoivre , potencias y extracción de raíces de un
número complejo.
Teorema de DeMoivre y Potencias
De la figura 1.1.tenemos dada la representacion polar de un numero complejo
Donde la formula se usa cuando z w r cos ϕisen ϕen este caso
z r cos 2ϕisenϕ2 2 , y
3 2 z z ⋅z
cosϕϕcos 2ϕ2ϕ2 r isen ⋅r isen
cos3ϕ3ϕ3 r isen
En general, para cualquier entero positivo k.
z r kϕisenkϕk k cos 
a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable asi mismo a laspotencias de numeros complejos
Raíces de un número complejo
Dado un numero complejo que se define tal que . Utilizando esta
notacion podemos pensar en i como la raiz cuadrada de −1, pero notamos que
tambien tenemos , asi que (−i) es tambien una raiz cuadrada
de −1. Semejantemente a los numeros reales, decimos que la raiz cuadrada
principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier numeroreal positivo, entonces
en la raiz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raiz cuadrada de un numero negativo es necesariamente imaginario.
Eso es debido a que , por lo que entonces:
Si se desea encontrar la raiz de un numero imaginario es posible demostrar la
igualdad
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un
problema:para el numero complejo z, no podemos definir para ser la raiz
cuadrada “positiva” de Z.
Para cada numero complejo diferente a cero z existen exacto dos numeros W
tales que . Por ejemplo, las raices cuadradas de i son:
y
La definicion general de esta introduciendo el siguiente punto de rama: si
z = r eiφ es representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, despues fijamos
el valor...