Algebra

Algebra de matrices
Es un conjunto de valores en donde impor ta el orden de la posición de l os elementos, por esa razón los elementos de esa matriz forman un cuerpo rectangular. Ejm 12 5 9 0 A= -7 1 8 3 10 0 9 5 COLUMNAS (j) 4 columnas i= va a ser igual al número de filas, como el ejemplo anterior la matriz A esta formada por 3 filas. J= va a ser igual al número de columnas, como el ejemploanterior la matriz A esta formada por 4 columnas. Mediante a ij podemos determinar la posición , indicando así en que fila y columna se encuentra. aij: a11= 12 a33= 9 Se acostumbra a encerrar las matrices entre corchetes, y también se sabe utilizar paréntesis. Para representar matrices se usa letras mayúsculas. No se debe utilizar barras verticales porque eso tiene un significado diferente. Las filasse numeran de arriba hacia abajo y las columnas de izqu ierda a derecha. Tamaño de una matriz Se le elige en forma general con A= m* n, que representa el orden o dimensión. (# de filas (m) * # de columnas (n)) ejm. A(2*3)= 2 5 9 7 2 4 A(2*2)= 8 5 4 2 FILAS (i) 3 filas A= a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n a31 a32 a33 a3n

Clases: Matriz fila: es la matriz de orden A= 1*n ejm. A= ( 5 2 1 8) Matrizcolumna: es la matriz de orden A=m*1 ejm. A= 2 5 1 Matriz cuadrada: es la que tiene el mismo número de filas y de columnas, A=(2*2). A= 1 8 2 6 Matriz nula: es la matriz de cualquier tamaño donde todos los elementos son iguales a cero. A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matriz diagonal: contiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal. La diagonal principal es la que va del vérticesuperior izquierdo y continua hacia abajo y a la derecha. A= 2 0 0 0 5 0 0 0 3

Matriz identidad ( I ): es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son la unidad. A= 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Matriz transpuesta ( A t) : es cuando cualquier matriz de cualquier orden se cambia las filas por columnas. A= 4 5 3 1 -6 2 Matriz simétrica: una matriz es simétrica cuando es igual a sutranspuesta, tiene q ser una matriz cuadrada, A = At. A= 2 3 4 3 5 7 4 7 8 A t= 2 3 4 3 5 7 4 7 8 3*2 At = 4 3 -6 5 1 2 2*3

Igualdad de matrices Las matrices son iguales solo si los mismos elementos de una de ellas es igual al los elementos de la otra en los mismos lugares. H=N H= 2 0 1 3 N= 2 0 1 3

Operaciones con matrices Las operaciones con matrices son las siguientes: y y y Suma y resta dematrices Multiplicación de una matriz por un escalar Multiplicación entre matrices

Suma y resta de matrices La condición para sumar y restar dos matrices es de que tengan un mismo orden. A= a b C d B= e g f h A + B= a+e b+g c+f d+h ejm

M= 15 -20 100 40

N = -25

5

40 -70

(M+N)= -10 -15 140 -30

(M-N)= 40 -25 60 110

(N-M)=

-40 25 -60 -110

Matriz por escalar Se obtiene multiplicando todos loselementos de la matriz por la constante. A= -2 4 6 3 1 -5 -2A= 4 -8 -12 -6 -2 10 k= -2

Matriz por matriz Dos matrices se pueden multiplicar entre sí (A*B) siempre y cuando el numero de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. A=m*n B=n*p entonces : A*B= m*p

La matriz resultante se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila i de la primeramatriz por los elementos de la columna j de la segunda matriz. A= 10 -15 1 0 -1 20 (2*3) B= -4 0 -2 Cij=sumatoria (ai1b1j+ai2b2j ..+ainbnj) 5 1 0 (3*2)

C11=(0)(-4)+(-1)(0)+(20)(-2)=-42 C12=(10)(5)+(-15)(1)+(1)(0)=35 C21=(0)(-4)+(-1)(0)+(20)(-2)=-40

C22=(0)(5)+(-1)(1)+(20)(0)=-1 C= -42 -40 35 -1 (2*2)

Método de reducción En estos métodos de reducción se puede aplicar gauss-jordan en la resoluciónde sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en reemplazar el sistema por uno nuevo q tenga las mismas soluciones, esto se logra aplicando operaciones fáciles sobre las filas para convertir en cero algunos de los términos de la matriz. Un sistema de ecuaciones puede ser colocado en forma de matriz:


Las filas de la matriz son las ecuaciones del sistema, por eso al realizar alguna operación es...