Algebra

A) 7 + 13 + 19 + … + (6n + 1) = n(3n + 4)
K=1n 6k + 1=n(3n + 4)
1.- Sea k=1, entonces se cumple que:
(6K + 1) = n(3n + 4)
(61 + 1) = 1(31 + 4)7 = 7
2.- Se supone válida para k=p.
K=1p 6k + 1=p(3p + 4)
3.- Demostremos que también es válida para k=p + 1, esto es:
K=1p +1 6k + 1=(p + 1)[3(p +1) + 4]
K=1p + 1 6k + 1=(p + 1)(3p + 3 + 4)
K=1p + 1 6k + 1=(p + 1)(3p + 7)
K=1p + 1 6k + 1= 3p2 + 10p+7
* Sabemos que:
K=1p 6k + 1=p(3p + 4)
7 +13 + 19 + …. + (6p + 1) = p(3p + 4)
* A esta igualdad le sumamos el termino siguiente de la sucesión que es [6(p + 1) + 1] = (6p + 7), por lo cual obtenemos:
* 7 + 13 + 19 + …. + (6p+ 1) + (6p + 7) = p(3p + 4) + (6p + 7)
K=1p + 1 6k + 1= 3p2 + 4p+6p+ 7
K=1p + 1 6k + 1= 3p2 + 10p+7
K=1p + 1 6k + 1=(p + 1)(3p + 7) Q.E.D.B) 23 + 43+ 63+ ….+ 2n3 = 2n2 + n+12

K=1 n(2k)3 = 2n2 (n+1)2
1.- Sea k=1, entonces se cumple que:
(2k)3 = 2n2(n+1)2
(21)3= 212(1+1)2(2)3 = 2(4)
8 = 8
2.- Se supone válida para k=p.
K=1 p(2k)3 = 2p2 (p+1)2
3.- Demostremos que también es válida para k=p + 1, estoes:
K=1 p + 1(2k)3 = 2(p+1)2 (p+2)2
* Sabemos que:
K=1 p2k3 = 2p2 p+12

23 + 43+ 63+ ….+ 2p3 = 2p2 p+12

* A esta igualdad le sumamos el termino siguiente de lasucesión que es [2(p+1)]3, por lo cual obtenemos:
* 23 + 43+ 63+ ….+ 2p3 + [2(p+1)]3 = 2p2 p+12+ [2(p+1)]3

K=1 p + 12k3 = 2p2p+12+ [8(p+1)3]

K=1 p + 12k3 = 2p+12 [p2+ 4 p+1]

K=1 p +12k3 = 2p+12 (p2+ 4p+4 )

K=1 p + 1(2k)3 = 2(p+1)2 (p+2)2 Q.E.D.



C) 1 2 + 2 3 + 3 4 + …. + n(n + 1) = nn+1(n+2)3

2 + 6 + 12 + …. + n(n + 1) =...