algebra

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Rafael Urdaneta (URU)
Maracaibo-Edo. Zulia






Integrantes:






Contenido:

1.-Espacio vectorial definición y ejemplo.
2.-Propiedades básicas de un espacio vectorial (10 axiomas y 3 ejemplos).
3.-Combinacion lineal yvectores lineales independientes.
3.1.-Definicion y ejemplo de cada una.
4.-Vectores base (definición y ejemplo).
5.-Cambio de base (definición y ejemplo).
6.-Base orto-normales (definición y ejemplo).










Desarrollo:

1.-Espacio vectorial definición y ejemplo.
Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir deun conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Ejemplo:
Todo cuerpo es un espacio vectorialsobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
 es un espacio vectorial de dimensión uno sobre.
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su sub-cuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
 es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre.
 es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre.

Sucesiones sobre un cuerpo 

El espacio vectorialmás conocido notado como, donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de  de longitud n con las operaciones:
(u1, u2,..., un)+ (v1, v2,..., vn)= (u1+v1, u2+v2,..., un+vn).
a (u1, u2,..., un)= (au1, au2,..., aun).
Las sucesiones infinitas de  son espacios vectoriales con las operaciones:
(u1, u2,..., un,...)+ (v1, v2,..., vn,...)=(u1+v1, u2+v2,..., un+vn,...).
a (u1, u2,..., un,...)= (au1, au2,..., aun,...).

El espacio de las matrices,, sobre, con las operaciones:



2.- Propiedades básicas de un espacio vectorial (10 axiomas y 3 ejemplos).

Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean  y  dos vectores neutros, entonces:
   
Unicidad del vector opuesto de lapropiedad 4:
Supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean  y  dos vectores opuestos de, entonces, como el neutro es único:
   
Unicidad del elemento  en el cuerpo:
Supongamos que 1 no es único, es decir, sean  y  dos unidades, entonces:
   


Unicidad del elemento inverso en el cuerpo:
Supongamos que el inverso  de a, no es único, es decir, sean  y  dos opuestos de, entonces, como elneutro es único:
   
Producto de un escalar por el vector neutro:
   
Producto del escalar 0 por un vector:
      
Si  
Si  es cierto.
Si  entonces:
       

Notación
.

Observación

Si  
Si  

Axiomas
Si x V y Y V, entonces x+y V (cerradura bajo la suma)
Para todo x,y y z en V, (x+y) = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)
Existe un vector 0 

V tal que paratodo x 
V, x+0 = 0+x=x (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
Si x V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)
Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)
Si x y y están en V y  es un escalar, entonces  (x +y) = x +y (primera ley distributiva)
Si x, V, Y,  y  son escalares, entonces (+) x = x+x (Segunda ley distributiva)

Si x  V y y son escalares, entonces (x) = ()x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)
Para cada vector x V, 1x= x

Ejemplos:

Se quiere probar que  es un espacio vectorial sobre 
Si  juega el papel de  y  el de:
Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la...