algebra

2. Matrices y Determinantes




1 1 1
[1] Si A =  0 1 1  ∈ MR (3). Determine An , para n ∈ N.
0 0 1
1

Coordinaci´n de Algebra II Ricardo Santander
o

2

[2] Demuestre usandoInducci´n matem´tica que
o
a
n

a 1 0
an nan−1
 0 a 1  =  0
an
0 0 a
0
0


n(n−1) n−2
a
2
n−1

na
an




(∀n; n ∈ N)

[3] Si A ∈ U(MR (n)) entonces calcule usandopropiedades:
• det(Adj(A))
• det(A−1 )
• det(A · A−1 )
[4] Sea A ∈ MR (n). demuestre que
A = At =⇒ Adj(A) = (Adj(A))t




α β −α
0  ∈ MR (3) entonces
[5] Si A =  1 α
β α −β
[a]Determine el conjunto
I = {(α, β) ∈ R2 | A ∈ U(MR (3)}
[b] Para u ∈ I, (si I = ∅ ), determine A−1





a b c
a+b b+c c+a
[6] Si det  x y z  = −1 entonces calcule det  x + y y + z z + x 
pq r
p+q q+r r+p
[7] Demuestre usando propiedades que





x+y y+z z+x
z x y
det  a + b b + c c + a  = 2 · det  c a b 
p+q q+r r+p
r p q
[8] Demuestre que



1
1
tan γ
1 = tan α + tan β + tan γ − tan α tan β tan γ
det  − tan γ tan β
tan α
0
1

Coordinaci´n de Algebra II Ricardo Santander
o



a
 a
[9] Si A = 
 b
a

b
b
b
a

b
a
a
a

3
b
a 
entonces
b 
b

• Determine el conjunto
S = {(a, b) ∈ R2 | A ∈ U(MR (4))}
• Grafique el conjunto S



1
1
1
1
 1 1+a
1
1 
entonces determine el conjunto
[10] Si A= 
 1
1
1+b
1 
1
1
1
1+c
S = {(a, b, c) ∈ R3 | A ∈ U(MR (4))}

[11] Demuestre que



x+a
a2
a3
a4
 a
x + a2
a3
a4  x3 (a(x + a4 ) − (x + a))
=
det 
 a
a2
x + a3a4 
a−1
2
3
4
a
a
a
x+a

3. Sistemas de Ecuaciones lineales
[1] Usando el teorema del rango determine si los siguientes sistemas tienen o no soluci´n, en caso afiro
mativo, determine lasoluci´n o las soluciones.
o
3x + 4y
= 0
(1) 2x − y + 3z = 0
4x + 9y − 3z = 0

3x + 4y − 7z = 6
(2) 2x + y + 8z = 2
6x + 4y − 14z = 5

x + 2y + 3z = 6
3x + 4y + 5z = 2
(3)
5x + 4y + 3z =...