Algebra

UNIDAD 5 TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 INTRODUCCION A ALAS TRANSFORMACIONES LINEALES.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizarfunciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Lastransformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, elnúcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

5.2 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.
NÚCLEO (Nf) DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sea f: V -> W una transformación lineal de un e.v. V, en un e.v W. El Núcleo de f, (Nf), es el subconjunto del e.v. V que consta de todos los elementos u de V tales que: f (u) = 0w. Esto quiere decir que las imágenes de los vectores de V es elvector nulo del e.v. W.
En forma matemática el Núcleo es igual a: Nf= {u Є e.vV de salida / f (u) = 0w), Donde 0w es el vector nulo del e.v. de llegada W. El Núcleo puede tener varios vectores de V, incluido el vector nulo 0v, o sólo el vector nulo.
En forma matemática la Img f podemos escribirla de la siguiente manera: Imgf = { w Є e.v de llegada / f (u) = w}, donde u es elemento del e.v desalida.La imagen de una T.L puede ser una parte del conjunto de llegada o todo el conjunto de llegada.

5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y condominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V ® Wpuede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entoncescualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.
Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T

5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXION, DILATACION, CONTRACCION Y ROTACION.
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espaciosvectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Lastransformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Reflexión

Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando...