Algebra

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA

1 Para : Ing. Vespertinas



2 CURSOS de ÁLGEBRA I

Primer Semestre de 2008 Para Uso Interno



2 Unidad Previa


1 LÓGICA SIMBÓLICA

(HACIA UNA TEORÍA DE CONJUNTOS)


1.- GENERALIDADES SOBRE CONJUNTOS

En una Teoría Intuitiva de Conjuntos, como la que desarrolla Paul Halmos, los conceptos de “conjunto” y“pertenencia” son considerados primitivos, es decir, no se definen de un modo formal; se les acepta como existentes de manera axiomática. Intuitivamente, un Conjunto es una colección bien delimitada de objetos concretos o abstractos llamados elementos o miembros del conjunto.


Consideremos, por ejemplo, las siguientes colecciones:
1.- Las vocales latinas: a, e, i, o, u.
2.- Losnúmeros enteros pares positivos: 2, 4, 6, ....
3.- Los siete enanitos de Blancanieves.
4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional existentes en el año 1999.
5.- Las personas simpáticas del curso de Tópicos Matemáticos para

Bachillerato de este semestre.


Sólo los cuatro primeros de estos ejemplos constituyen conjuntos. La colección 5 no tiene biendelimitados sus elementos, pues la apreciación de “simpático” es extremadamente subjetiva e incluso variable en un mismo sujeto. Cada uno de los elementos del conjunto 4 puede considerarse como un conjunto y por esta razón podemos decir que este conjunto es una clase o familia de conjuntos.

Los conjuntos se denotan generalmente mediante letras mayúsculas y sus elementos se escriben entreparéntesis de llave.
Por ejemplo: A = { 1, 2, 4 }.


Al conjunto cuyo único elemento es a se le llamará “síngleton de a”.
Obsérvese que {a} ≠ a.
En el conjunto A del ejemplo anterior el entero 2 pertenece a A. Análogamente, 1∈A y 4 ∈A (por abuso de lenguaje y para abreviar se escribe: 1, 2, 4 ∈A). Por otra parte, 5 no pertenece a A. Escribimos esto así: 5 ∉ A. Es usualdecir, por ejemplo, que “x es un elemento de A” o “x está en A” como idéntico a decir “x pertenece a A”.



Definición 1.1.

Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está incluido en B, y se escribe A ⊆ B ó B ⊇ A, si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B. Si A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B ó B ⊄ A. Además, se diceque A es subconjunto propio de B si y sólo si A es subconjunto de B pero B es distinto de A, lo que a veces se denota por A ⊂ B.

Ejemplo 1.1.-


Dados A = {1,2}y B = {1,2,3 }, entonces se puede afirmar que A es subconjunto de B, que A es subconjunto de A, que B es subconjunto de B, que B no es subconjunto de A y que A es subconjunto propio de B.
Definición 1.2.

Sedice que los conjuntos A y B son iguales, y se escribe A = B, si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B, y recíprocamente. Dicho de otro modo: A y B son iguales si y sólo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. Si A y B no son iguales se escribe A ≠ B, y se lee A es distinto de B.

Ejemplos 1.2.
1.- { x ∈IR / (x – 2) (x2 – 8x + 15) = 0} = { 2,3,5}
2.- {1, 2 } = {1, 2, 1, 2, 1} cuando 1 y 2 son los números naturales en sí.
3.- {1, 2 } ≠ {1, 2, 1, 2, 1} si 1 y 2 representan el número de hijos en diversas familias humanas.
4.- {∅ } ≠ ∅ donde ∅ es el conjunto vacío que definiremos luego.

Definición 1.3.

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto A se llama conjunto potencia de A yse denota por P (A).

Ejemplo 1.3.
1.- P ( {1, 2 } ) = { ∅, {1 }, {2 }, {1, 2 } }
2.- P (∅ ) = {∅ }

En toda discusión relativa a conjuntos aparece explícita o implícitamente, un conjunto no vacío que llamamos espacio o universo, del cual son partes cada uno de los conjuntos en cuestión.
Así, por ejemplo, en geometría plana el conjunto universal está...