Algebra

Índice

1.1 definición y origen de los números complejos.

1.2 operaciones fundamentales con números complejos.
1.3.1 suma de números complejos
1.3.2 resta de números complejos.
1.3.3 multiplicación de números complejos.
1.3.4 división de números complejos.

1.3 potencias de “i”,modulo o valor absoluto de un numero complejo.
1.4.5 potencias de “i”.
1.4.6 modulo o valor absoluto de un numero complejo.

1.4 forma polar y exponencial de un numero complejo.
1.5.7 forma polar.
1.5.8 forma exponencial.

1.5 teorema de moivre.
1.6.9 teorema de moivre.
1.6.10 potencias.
1.6.11 raíces.

1.6ecuaciones polinomicas
1.7.12 ecuaciones de primer grado.
1.7.13 ecuaciones de segundo grado.

1.1 Definición y origen de los números complejos.
Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis(x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria imag, ambos del tipo predefinido double.
Los números complejos expresan la suma entre un número real y un número imaginario. Un numero real es aquel que puede ser expresadopor un numero entero (4, 15, 100). O decimal (1.5; 25.500). En cambio, un numero imaginario es un numero cuyo cuadrado es negativo. El concepto de numero imaginario fue desarrollado por Leonard euler en 1777, cuando le otorgo a √-1 el nombre de i (de imaginario).
La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de expresar las raíces de orden par de lo númerosnegativos. Los números complejos pueden expresar todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.



Un poco de historia
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide.Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginariopara estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX

1.2operaciones fundamentales con números complejos

SUMA
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
Propiedades de la Suma de Números Complejos
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
· Conmutativa
Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:
(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )
Ejemplo:(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i
(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i
· Asociativa
Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:
[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]
Ejemplo:
[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i
(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) =...