ALGEBRA

Cap´
ıtulo 6

Diagonalizaci´n
o
En este cap´
ıtulo empezaremos a estudiar la estructura de los endomorfismos de un espacio
vectorial de dimensi´n finita.
o

6.1

Nociones b´sicas
a

Dada una transformaci´n lineal f : K n → K n , y dos bases B1 y B2 de K n se tiene que
o
|f |B1 = C(B2 , B1 )|f |B2 C(B1 , B2 ) = C(B2 , B1 )|f |B2 C(B2 , B1 )−1 ,
y por lo tanto, existe una matriz C ∈GL(n, K) tal que |f |B1 = C. |f |B2 . C −1 . Rec´
ıprocamente, si A, B ∈ K n×n son tales que existe una matriz C ∈ GL(n, K) tal que A = C.B.C −1 ,
definiendo f : K n → K n como f (x) = A.x y considerando B1 = E la base can´nica de K n y
o
B2 la base de K n formada por las columnas de C, resulta que
A = |f |B1

y

B = C −1 .A.C = C(E, B2 )|f |E C(B2 , E) = |f |B2 .

Esto da lugar a lasiguiente definici´n (ya introducida en el Ejercicio 35 de la Secci´n 3.8):
o
o
Definici´n 6.1 Sean A, B ∈ K n×n . Se dice que A y B son semejantes, y se nota A ∼ B, si
o
existe una matriz C ∈ GL(n, K) tal que A = C.B.C −1 .
Por lo tanto, se demostr´ la siguiente propiedad (que es lo propuesto por el Ejercicio 36
o
de la Secci´n 3.8):
o
Proposici´n 6.2 Sean A, B ∈ K n×n . Entonces A ∼ B si ys´lo si existen una transformaci´n
o
o
o
lineal f : K n → K n y bases B1 y B2 de K n tales que |f |B1 = A y |f |B2 = B.
Por lo que vimos, una misma transformaci´n lineal da lugar a matrices semejantes si
o
calculamos sus matrices en distintas bases. Es por eso que, en lo que sigue, estudiaremos la
semejanza de matrices. El primer problema que consideraremos es el de determinar si unamatriz es semejante a una matriz diagonal.

134

Diagonalizaci´n
o

Definici´n 6.3 Una matriz A ∈ K n×n se dice diagonalizable si existe una matriz C ∈
o
GL(n, K) tal que C.A.C −1 es una matriz diagonal.
En otras palabras, una matriz diagonalizable es una matriz que es semejante a una matriz
diagonal. La noci´n correspondiente para transformaciones lineales es la siguiente:
o
Definici´n6.4 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´n finita, y sea f : V → V una
o
o
transformaci´n lineal. Se dice que f es diagonalizable o diagonal si existe una base B de V
o
tal que |f |B es diagonal.
Teniendo en cuenta que la semejanza de matrices es una relaci´n de equivalencia (ver
o
Ejercicio 35 de la Secci´n 3.8) deducimos que:
o
Observaci´n 6.5 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´nfinita y sea f : V → V una
o
o
transformaci´n lineal. Entonces f es diagonalizable si y s´lo si |f |B es diagonalizable para
o
o
toda base B de V .

6.1.1

Autovalores y autovectores

Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´n n y sea f : V → V una transformaci´n lineal
o
o
diagonalizable. Luego, existe una base B = {v1 , . . . , vn } de V tal que |f |B es diagonal:


0

0
..
.

λ2
..
.

0



|f |B = 



λ1

...

...
..
.
..
.
0


0
. 
. 
. 
.
0 
λn

Entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n, f (vi ) = λi vi .
Rec´
ıprocamente, si para una base B = {v1 , . . . , vn } de V y λ1 , . . . , λn ∈ K se cumple
que f (vi ) = λi vi para cada 1 ≤ i ≤ n, la matriz |f |B es diagonal y, en consecuencia, f es
diagonalizable.
Esto nos lleva ala siguiente definici´n:
o
Definici´n 6.6 Sea V un K-espacio vectorial, y sea f : V → V una transformaci´n lineal.
o
o
Se dice que v ∈ V , v = 0, es un autovector de f si existe λ ∈ K tal que f (v) = λ.v. El
elemento λ ∈ K se llama un autovalor de f .
Usando estas definiciones, el razonamiento anterior se puede reescribir de esta forma:
Proposici´n 6.7 Sea V un K-espacio vectorial dedimensi´n n y sea f : V → V una
o
o
transformaci´n lineal. Entonces f es diagonalizable si y s´lo si existe una base B de V
o
o
formada por autovectores de f .

6.1 Nociones b´sicas
a

135

La mismas nociones se pueden definir para matrices: Dada A ∈ K n×n , se le puede asociar
una transformaci´n lineal fA : K n → K n definida por fA (x) = A.x. Notar que |fA |E = A,
o
donde E es la base...