Algebra


mANUAL DE ALGEBRA
Osvaldo Flores German




Sabes Teóricos
1. Números Reales y complejos.
2. Ecuaciones de grado superior.
3. Matrices y determinantes.
4. Ecuaciones lineales.
5. Estructuras algebraicas.
6. Espacios vectoriales.
7. Espacios con producto interno.
8. Transformaciones lineales.
9. Valores propios, vectores propios y formas cuadráticas.
Unidad de competencias
Elestudiante conoce y maneja las funciones del algebra básica y lineal para aplicarlas en la resolución de problemas ingenieriles mediante la investigación y el uso de software, con una actitud de responsabilidad, puntualidad, participación y colaboración.












UNIDAD 1
Números reales


Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal,incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.
Números racionales
Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio defracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solopodrían ser escritos durante toda la eternidad.




Números irracionales
¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema dePitágoras, siendo el resultado el número √2.
Números Complejos
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como, siendo  el conjunto de los reales se cumple que. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario.
Ejemplos:
1 + i
12 - 3.1i
-0.85 - 2i
π + πi
√2 + i/2
Cero
Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parteimaginaria.
Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.
Número complejo
Parte real
Parte imaginaria
3 + 2i
3
2
5
5
0
-6i
0
-6




Formas de expresar los números complejos

Forma Cartesiana > z = a + bi > también llamada binomial
Forma Vectorial > z = (a, b)
Forma Polar > z = r(cos θ + i sen θ, sen θº)
FormaCis > z = rcis θ, con el angulo θ
Forma Euler > z= re θi, con el angulo θrad



Ejemplo.

Expresar en sus diversas formas z=(4,3)

Z= (4,3) Forma Vectorial
Z= 4 + 3i Forma Cartesiana
Z= (Z=5 (cos 36.87º + i sen 36.87º)) Forma Polar r
Z= 5cis 36.87 º Forma Cis
Z= 5 e^0.64i Forma Euler






Operaciones con números complejos
Sumary multiplicar de nuemros complejos
Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante:
(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i

Resta de números complejos
La diferencia de números...