Algebra

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁREA ÁLGEBRA
Lic. Silvia Báez Chávez

MATERIAL DE APOYO
GEOMETRÍA ANÁLITICA Y VECTORES I
Objetivo General:
Proporcionar al alumno un marco teórico, no solo como un
conjunto de teoremas y propiedades, sino como fundamento qué
justifica la práctica y que muestra como conceptos que, enprincipio parecen ser independientes, unos de otros terminan
entrelazándose.
Objetivos Específicos:
- Encontrar las diferentes ecuaciones de rectas ubicadas en el
plano y representarlas gráficamente.
- Investigar la posición relativa de rectas en el plano.
- Identificar una magnitud vectorial.
- Sumar y restar, analíticamente y gráficamente vectores de R 2
- Multiplicar, analíticamente ygráficamente un vector de R 2 por
un escalar.
- Utilizar las propiedades de las operaciones entre vectores de
R 2 en situaciones planteadas.
Bibliografía:
- H. Lehmann Charles, Geometría Analítica
- Lipschutz Seymour,Algebra Lineal.Cápitulo 2, págs:45-86
- Kozak Ana María, Nociones de Geometría Analítica y Álgebra
Lineal, Cápitulo 1-2, págs1-153

Lic. Silvia Báez Chávez

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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Lic. Silvia Báez Chávez
Recta
La Línea Recta
Existen varias definiciones de la línea recta, una de ellas y quizás
la más utilizada es aquella que expresa que “ una recta es la
distancia más corta entre dos puntos”
No obstante los tratados superiores de Geometría, admiten la
existencia de la línearecta como un postulado, de donde se
obtiene que:
“ Una línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales
que tomados dos puntos diferentes cualesquiera del lugar, el
valor de la pendiente resulta siempre constante”.
Pendiente de una Recta.
La pendiente de una recta no vertical, es la tangente de su ángulo
de inclinación.
En símbolos m = tg θ
m : pendiente
θ : ángulo de inclinación
¿Qué se entiende por ángulo de inclinación?
El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo formado entre
el eje de abscisas en sentido positivo y la recta.
θ : ángulo de inclinación
0 ≤θ ≤π
¿ Qué ocurre con la pendiente cuando θ varía de 0 a π ?
Definimos m = tg θ
• Si θ es agudo, m = tg θ >0 se dice que la recta tiene pendiente
positiva.
• Si θ es obtuso, m = tg θ u si k > 1

→→

k u = u si k = 1vk = −1

Propiedades del producto de un vector por un escalar.
a) Ley de composición externa: el producto de un vector por
→

→

un escalar es un vector k u = v
→

→

→

b) Asociatividad mixta: k1 (k 2 u ) = (k1 k 2 ) u = k 2 (k1 u )
c) Propiedad distributiva del producto de un vector por un
escalar con respecto a
la suma de vectores.
→

→

→

→

k (u+ v ) = k u + k v

d) Propiedad distributiva del producto de un vector por un
escalar con respecto a la suma de escalares
→

→

→

(k1 + k 2 ) u = k1 u + k 2 u

e) El escalar 1 es el elemento neutro para el producto de un
vector
→

→

1. u = u

Vectores en el espacio bidimensional
Todo punto P( x, y ) ∈ R 3 tiene asociado

un

vector

posición

→

P = OP ,cuyo origenes el origen de coordenadas O y cuyo extremo

es el punto P.
→

→

La expresión canónica del punto A(2,-3) es a = 0 A = 2i − 3 j
En forma gráfica
Obs: Todo punto del plano tiene asociado un vector posición, y
→

todo vector p es el vector posición de un único punto P( x, y ) .
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Producto escalar, ángulo entre vectores y proyecciones
En el contexto del álgebra vectorial, la operación de producto
escalar constituye una herramienta para obtener la medida del
ángulo que definen dos vectores distintos del vector nulo,
considerados con un origen común, y efectuar proyecciones
ortogonales.
En el contexto de la...