algebra

Capítulo 1

Teoría de conjuntos
1.1.

Conjuntos

Casi todos los objetos matemáticos son ante todo conjuntos, independientemente de otra propiedad adicional que posean. Por consiguiente, la teoría de los conjuntos es, en cierto sentido, la
base sobre la cual se construye toda la matemática. A pesar de esto, la teoría de los conjuntos, se
aprende, y se usa fácilmente.
Definición 1.1Conjunto
Un conjunto es cualquier colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del
conjunto.
Se usan letras mayúsculas como A, B, C, ..., para indicar conjuntos y letras minúsculas como
a, b, c, ..., para indicar miembros o elementos de los conjuntos.

Ejemplo 1.1
Son ejemplos de conjuntos, los siguientes:
a. Las letras de alfabeto.
b. Los números pares.
c. Los miembros deun equipo de fútbol.

1.
2.
3.
por

A continuación se enuncian las siguientes condiciones para definir un conjunto:
Los elementos que forman el conjunto han de ser entes bien definidos.
Para cada uno de estos elementos no hay otra alternativa que la de pertenecer o no al conjunto.
Para cada par de elementos a considerar no hay otra alternativa que la de estar formado o no
elementosdistintos.

1.1.1.

Formas de expresar un conjunto

Hay dos caminos para definir o determinar un conjunto, métodos que los lógicos designan por
extensión y por comprensión.
Por extensión
Para expresar que el conjunto S consta de los elementos a, b, c, escribiremos S = {a, b, c}, con
ello damos la extensión del conjunto S al enunciar cada uno de los elementos que lo componen. Es
decir, sedeclara individualmente todos los elementos del conjunto.
1

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS

2

Por comprensión
Por otra parte, los conjuntos infinitos sólo pueden definirse por comprensión, es decir, dando
un criterio que permita reconocer para cada ente arbitrario, si pertenece o no al conjunto. Es decir,
se declara una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

1.2.Conjuntos finitos e infinitos

1.2.1.

Conjunto finito

Definición 1.2
Conjunto finito
Aquel conjunto que consta de cierto número de elementos distintos cuyo proceso de conteo tiene
límite, se denomina conjunto finito.
Ejemplo

1.2

Sea
A = {x/x = provincias de Ecuador}

Que se lee ¨A es el conjunto de las x, tales que x son las provincias de Ecuador¨. A es un conjunto
finito porquesi es posible contar todas las provincias de Ecuador.

1.2.2.

Conjunto infinito

Definición 1.3
Conjunto infinito
Aquel conjunto que consta de un número indeterminado de elementos distintos, se denomina conjunto infinito.
Ejemplo

1.3

Sea
A = {z/z = arena en el mar}

Que se lee ¨A es el conjunto de las z, tales que z son los granos de arena en el mar¨. A es un
conjunto infinito porqueno se puede contar el número de granos de arena, es infinito.

1.2.3.

Noción de pertenencia

Se indica el hecho de que x es un elemento del conjunto A escribiendo x ∈ A y se indica el
hecho de que x no es un elemento del conjunto A escribiendo x ∈ A.
/
Ejemplo

1.4

Sea A = {1, 3, 5, 7}. Entonces 1 ∈ A, 3 ∈ A pero 2 ∈ A.
/

Ejemplo 1.5
Si S = {x/x es un número natural menor que4}, es el conjunto {1, 2, 3} descrito anteriormente, enlistando sus elementos.
Ejemplo 1.6
Sea S = {x/x es un número real y x2 = −1}, dado que el cuadrado de un
número real x es siempre positivo.

1.2.4.

Igualdad de conjuntos

Definición 1.4
Igualdad de conjuntos
Los conjuntos son totalmente determinados cuando se conocen todos sus miembros. Así pues, se
dice que dos conjuntos A y B soniguales si tienen los mismos elementos y se escribe A = B.
Ejemplo

1.7

Si A = {1, 2, 3} y B = {x/x es un número natural y x2 < 16}, entonces A = B.

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS

1.2.5.

3

Conjuntos vacío

Definición 1.5
Conjunto vacío
Cuando la condición impuesta es contradictoria, no existe ningún elemento que la cumpla, se dice
que define un conjunto vacío, que suele...