algebra

ELEMENTOS DE ALGEBBRA:
MATERIAL DE APOYO
INDICE DE CONTENIDOS



Potencias con exponentes en IR 2
Radicación 4
Propiedades de las expresiones radicales 4
Potencias con exponente fraccionario 5
Racionalización 8
Radicales semejantes 9
Suma y resta de radicales 9
Expresiones algebraicas 10
Operaciones con polinomios 11
Fórmulas notables 14
Racionalización utilizando fórmulasnotables 15


















Potencias con exponentes en IR
Para y , se define como

Recuerde que
1.
2.
3. no está definido.
4. no está definido.


Leyes de potencias para exponentes enteros
Para y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Recuerde que en una potencia
Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.
Si la base esnegativa y el exponente es par, el resultado es positivo.
Si la base es positiva y el exponente es par o impar, el resultado es positivo.








Ejemplos
Aplique leyes de potencias para resolver las siguientes expresiones. Suponga todas las expresiones bien definidas en IR:
a)
b)
c)


d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)

Radicación
Sea x un número real y n un númeronatural mayor que 1. Entonces
a) Si entonces .
b) Si entonces es un número real positivo p tal que .
c) Si y n es un número impar entonces es un número real negativo p tal que .
d) Si y n es un número par entonces no es un número real.

Para los casos a), b) y c) escribimos

La expresión se llama radical; n recibe el nombre de índice y x se denomina subradical o radicando.Propiedades de las expresiones radicales
Consideremos y . Supongamos, además, que dichas expresiones están definidas en IR y que cumplen con la definición anterior, según sea el valor del índice.
Se cumple entonces que
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. si n es impar
9. si n es par
10.
11.
Potencias con exponente fraccionario
Sea un número racional , donde es una fracciónirreductible y sea . Definimos , la potencia de base x y exponente , de la siguiente manera:

Es decir, es igual a la raíz m-ésima de .

Leyes de potencias para exponentes racionales
Para y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Ejemplos

1. Aplique leyes de potencias para resolver las siguientes expresiones. Suponga todas las expresiones bien definidas en IR y las variables positivas:
a)b)
c)


2. Resuelva las siguientes expresiones. Suponga todas la expresiones bien definidas en .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
3. Resuelva las siguientes expresiones. Suponga todas la expresiones bien definidas en y todas la variables positivas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)


Racionalización
Elproceso de racionalización consiste en multiplicar el numerador y el denominador de una expresión radical fraccionaria por un factor “adecuado”, con el fin de eliminar el radical (ya sea en el numerador o el denominador). Cuando se pide racionalizar una expresión, si no se aclara se entiende que se refiere al denominador.


Ejemplos
Racionalice el denominador de los siguientes radicales simples.Considere todas las variables positivas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)


Radicales semejantes
Dos expresiones radicales son semejantes si poseen el mismo índice y el mismo subradical.

Ejemplos


Suma y resta de radicales
Para sumar o restar radicales, se debe sumar o restar los coeficientes numéricos que acompañan a los radicales semejantes. Si al radical leanteceden variables, éstas deben ser las mismas y estar elevadas a los mismos exponentes para poder operarlas.

Ejemplos
Realice las operaciones que se indican a continuación. Suponga que todas las variables son positivas.
a)
b)
c)
d)
e)

f)
g)
h)
i)


Expresiones algebraicas
Cualquier combinación que resulte de operar con números reales (adición, sustracción,...