algebra

ALGEBRA
Versi´on Preliminar
Renato A. Lewin

Indice
CAPITULO 1. Introducci´on a la Teor´ıa de N´
umeros
1. Los N´
umeros Naturales y los N´
umeros Enteros
2. Divisibilidad
3. Congruencias
4. Clases Residuales

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CAPITULO 2. Polinomios
1. Polinomios sobre los Racionales y los Enteros
2. Divisibilidad
3. Irreducibilidad sobre los Racionales. El Criterio deEisenstein
4. Teorema de Factorizaci´on Unica
5. Irreducibilidad sobre los reales y los complejos

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CAPITULO 3. Anillos
1. Definiciones y Ejemplos
2. Subanillos e Ideales
3. Homomorfismos e Isomorfismos

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CAPITULO 4. Cuerpos
1. Definiciones y Ejemplos
2. Cuerpo de Cuocientes
3. Caracter´ıstica de un Cuerpo
4. Extensiones Simples de Q
5. Obtenci´onde Raices de Polinomios sobre Q

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CAPITULO 5. Grupos
1. Definiciones y Ejemplos
2. Permutaciones, Isometr´ıas, Simetr´ıas.
3. Subgrupos y el Teorema de Lagrange
4. Grupos C´ıclicos
5. Subgrupos Normales
6. Homomorfismos

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Bibliograf´ıa

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3

CAPITULO 1

Introducci´
on a la Teor´ıa de N´
umeros
La Teor´ıa de N´umeros, al menos originalmente, es la rama de la matem´atica
que estudia las propiedades de los n´
umeros naturales 1, 2, 3, . . . . A poco andar uno
descubre que este estudio no se confina a dicho conjunto de n´
umeros, ni siquiera al
conjunto de los n´
umeros enteros . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . , sino que muchas veces
se debe recurrir a otros conjuntos de n´
umeros, algebraicos, reales,complejos, etc.
para resolver asuntos relacionados con los numeros naturales (y viceversa).
Algunos problemas cl´asicos de la Teor´ıa de N´
umeros como el llamado u
´ltimo
teorema de Fermat o el de la distribuci´on de los n´
umeros primos, (ver m´as adelante)
han dado origen a grandes desarrollos de la matem´atica. Por ejemplo, al primero de
estos se debe gran parte del desarrollo de loscuerpos ciclot´omicos, al segundo todo
el desarrollo de la funci´on zeta de Riemann. Es as´ı que en la Teor´ıa de N´
umeros
moderna se emplean sofisticadas te´cnicas de an´alisis matem´atico y de teor´ıa de
probabilidades. Estudiaremos aqu´ı tan s´olo los rudimentos de esta disciplina y
haremos algunos alcances acerca de su relaci´on con la llamada ´algebra abstracta.

1. Los N´
umerosNaturales y los N´
umeros Enteros
Comenzaremos nuestro estudio suponiendo que el lector est´a familiarizado con
los conjuntos
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . } y
N = {1, 2, 3, . . . },
de los n´
umeros enteros y de los n´
umeros naturales (o enteros positivos), respectivamente. En particular supondremos conocimiento de las operaciones de suma
y multiplicaci´on as´ı como de laestructura de orden sobre estos conjuntos, por lo
tanto, no daremos una definici´on axiom´atica de ellas.
La propiedad m´as importante de los n´
umeros naturales es el siguiente principio:
5

PRINCIPIO DE BUEN ORDEN
Todo conjunto no vac´ıo de n´
umeros naturales tiene un menor
elemento.

Decimos que N es un conjunto Bien Ordenado. Intuitivamente, este sencillo
principio nos dice que siemprepuedo encontrar el m´as peque˜
no n´
umero natural
tal que ......, donde la l´ınea de puntos puede ser llenada por cualquier propiedad
(siempre que exista al menos un n´
umero natural que verifique dicha propiedad).
Como consecuencia de esto, por ejemplo, podemos probar que todo n´
umero natural
n tiene un (´
umero que le sigue en el orden natural. (Esto
unico) sucesor, o sea, el n´
yalo sabemos: el sucesor de n es n + 1). Para demostrarlo, basta considerar el
conjunto no vac´ıo de los n´
umeros naturales estrictamente mayores que n y aplicar
el Principio de Buen Orden. El menor elemento de ese conjunto es el sucesor de n.
Cabe hacer notar que este menor elemento de un conjunto no vac´ıo A cuya
existencia garantiza el Principio es u
´nico ya que si hubiera dos, digamos...