Algebra
Páginas: 287 (71561 palabras)
Publicado: 1 de diciembre de 2012
ALGEBRA LINEAL
Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 2008
2
Índice general
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Representación Matricial de unSistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Solución Simultánea de Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. VECTORES en Rn2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Operaciones con Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Combinación Lineal y Conjuntos Generado y Generador . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2.5. Producto Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Rectas, Planos e Hiperplanos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. MATRICES 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Definición y Tipo de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Sumay Producto por escalar de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Transposición de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3.7. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 1 1 6 8 17 18 25 25 25 27 30 32 36 38 46 66 77 77 77 79 81 86 90 92
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ÍNDICE GENERAL
3.8. Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.9. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4. ESPACIOS VECTORIALES 117
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2. Definición y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 117 4.3. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.5. Bases y Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.6. Coordenadas Respecto a una BaseOrdenada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.7. Rango y Nulidad de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.8. Producto Escalar y Bases Ortonormales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.9. Proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.10....
Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 2008
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Índice general
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Representación Matricial de unSistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Solución Simultánea de Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. VECTORES en Rn2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Operaciones con Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Combinación Lineal y Conjuntos Generado y Generador . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2.5. Producto Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Rectas, Planos e Hiperplanos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. MATRICES 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Definición y Tipo de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Sumay Producto por escalar de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Transposición de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3.7. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 1 1 6 8 17 18 25 25 25 27 30 32 36 38 46 66 77 77 77 79 81 86 90 92
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3.8. Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.9. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4. ESPACIOS VECTORIALES 117
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2. Definición y Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 117 4.3. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4. Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.5. Bases y Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.6. Coordenadas Respecto a una BaseOrdenada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.7. Rango y Nulidad de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.8. Producto Escalar y Bases Ortonormales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.9. Proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.10....
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