Algebra

Curso de
Procesamiento Digital de Imágenes
Impartido por: Elena Martínez
Departamento de Ciencias de la Computación
IIMAS, UNAM, cubículo 408
http://turing.iimas.unam.mx/~elena/Teaching/PDI-Lic.html
elena.martinez@iimas.unam.mx

Repaso de Algebra Lineal
Objetivo:
Proveer del material necesario sobre algebra lineal que
será de utilidad para los temas del curso de Procesamiento
Digitalde Imágenes que se basan en matrices y vectores.

Material extraído de: www.imageprocessingbook.com
© 2001 Gonzalez & Woods.

Algunas Definiciones
Una matriz m x n (se lee “m por n”), denotada como A, es un
arreglo rectangular de entradas o elementos (números, o
símbolos que representan números) encerrado típicamente
por unos corchetes cuadrados, donde m es el número de filas
y n elnúmero de columnas.

Definiciones
 A es cuadrada si m=n .
 A es diagonal si todos los elementos fuera de la diagonal
son 0, y no todos los elementos de la diagonal son 0.
 A es la matriz identidad (I) si todos los elementos de la
diagonal son 1.
 A es zero o la matriz nula (O) si sus elementos son 0.
 La traza de A es igual a la suma de los elementos de la
diagonal principal.
 Dosmatrices A y B son iguales si y solo si tienen el mismo
número de filas y columnas, y aij =bij

Definiciones
 La transpuesta AT, de una matrix A de m x n, es una matriz
de n x m obtenida intercambiando las filas y las columnas de
A.
 Una martiz cuadrada para la cual AT=A se dice que es
simétrica.
 Cualquier matriz X para la cual XA=I y AX=I se llama
inversa de A.
 Sea c un númeroreal o complejo (llamado escalar). El
escalar múltiplo de c y de la matriz A, denotado como cA, se
obtiene multiplicando cada elemento de A por c. Si c=-1, el
escalar múltiplo se llama el negativo de A.

Definiciones
 Un vector columna es la matriz m x 1 :

 Un vector fila es la matriz 1 x n :

Un vector columna puede ser expresado como un vector fila
utilizando la transpuesta:Operaciones con matrices
 La suma de dos matrices A y B (de igual dimensión),
denotada como A+B, es la matriz con elementos aij + bij
 La diferencia de dos matrices, A-B, tiene elementos aij - bij
 El producto, AB, de una matriz m x n A y p x q B, es una
matriz m x q C cuyos (ij)-ésimo elemento está formado por
la multiplicación de las entradas de la i-ésima fila de A por
las entradas de laj-ésima columna de B; esto es:

Operaciones con matrices
 El producto interno (también llamado producto punto) de
dos vectores:

está definido como:

Note que el producto interno es un escalar.

Vectores y espacios vectoriales
Un espacio vectoral se define como un conjunto V no
vacío de entidades llamadas vectores y los escalares
asociados a ellos que setisfacen las condicionesque
mencionaremos a continuación (de la A a la C). Un
espacio vectorial es real si los escalares son números
reales; es complejo si los escalares son números
complejos.

Vectores y espacios vectoriales
 Condición A: Existe en V una operación llamada suma de
vectores denotada como x+y, que satisface:
1. x+y=y+x para todos los vectores x, y en el espacio.
2. x+(y+z)=(x+y)+z para todos x,y,y z.
3. Existe en V un único vector llamado el vector cero,
denotado como 0, tal que x+0=x and 0+x=x para todos los
vectores x.
4. Para cada vector x en V, existe un vector único en V,
llamado la negación de x, denotado como –x, tal que
x+(-x)=0 y (-x)+x=0.

Vectores y espacios vectoriales
 Condición B: Existe en V una operación llamada
multiplicación por un escalar que asocia concada escalar
c y cada vector de x en V , un vector único llamado
producto de c y x, denotado como cx y xc, que satisface:
1. c(dx)=(cd)x para todo escalar c y d, y todo vector x.
2. (c+d)x=cx+dx para todo escalar c y d, y todo vector x.
3. c(x+y)+cx+cy para todo escalar c y todo vector x y y.
 Condición C: 1x=x para todo vector x.

Vectores y espacios vectoriales
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