Algebra

Cap´ ıtulo 2

Aplicaciones lineales y matrices
2.1. Aplicaciones lineales

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Una aplicaci´n lineal (u o homomorfismo) de V en W es una aplicaci´n conjuntista f : V → W que para todo a, b ∈ V y o t ∈ K verifica: (AL1) f (a + b) = f (a) + f (b). (AL2) f (ta) = tf (a).

2.1.1.

Primeras propiedades

Sea f : V → W una aplicaci´nlineal entre dos K–espacios V y W . o Consecuencias de la definici´n o 1. f (0V ) = 0W . Porque f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) por (AL1). (No puede haber confusi´n o entre los ceros de V y W , luego se escribe f (0) = 0 a secas) 2. f (−a) = −f (a). Ya que f (a) + f (−a) = f (0). 3. f (t1 a1 + · · · + tn an ) = t1 f (a1 ) + · · · + tn f (an ). Basta aplicar (AL1), (AL2) e inducci´n. o 4. Si g : V → Wes lineal, se tiene que la aplicaci´n suma f + g : V → W dada por o (f + g)(a) = f (a) + g(a) a ∈ V es lineal. 5. Si t ∈ K, se tiene que la aplicaci´n multiplicaci´n por un escalar tf : V → W dada por o o (tf )(a) = tf (a) = f (ta) a ∈ V es lineal. 6. Si U es otro K–espacio y g : W → U es otra aplicaci´n lineal, la aplicaci´n composici´n o o o g ◦ f = gf : V → U dada por (g ◦ f )(a) = g(f (a)) a∈ V. es lineal. Claramente h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , 1W ◦ f = f y f ◦ 1V = f . Se deduce que el conjunto L(V, W ) = {f : V → W | f lineal} es un K–espacio vectorial con respecto a (+) y (·K ). Asimismo (t1 g1 + t2 g2 ) ◦ f = t1 (g1 ◦ f ) + t2 (g2 ◦ f ) y lo mismo al otro lado.

14 Ejemplos Sea V un espacio vectorial sobre K.

Cap´ ıtulo 2. APLICACIONES LINEALES

1. La aplicaci´n nula de Ven otro K–espacio W : 0 : V → W dada por 0(a) = 0, a ∈ V . o 2. Sea S un subespacio de V . La inclusi´n ι : S → V dada por ι(a) = a, a ∈ S es lineal e o inyectiva. En particular, si S = V , tenemos que ι = 1V = 1 es la aplicaci´n id´ntica de V . o e 3. Si V = S ⊕ T , todo a ∈ V se expresa de modo unico como a = x + y, donde x ∈ S, y ∈ T . ´ Se define la proyecci´n de V en S como πS : V → S dada porπS (a) = x, a = x + y ∈ V . o Se tiene que πS es lineal y suprayectiva. 4. Sea B = {a1 , · · · , an } una base de V . Se tiene que la aplicaci´n fB : V → K n que asocia a o cada a ∈ V sus coordenadas (x1 , · · · , xn ) con respecto a la base B (o sea a = n xi ai ) i=1 es lineal y biyectiva. Una aplicaci´n de este tipo es un sistema coordenado de V . o Proposici´n 2.1. Sea f : V → W una aplicaci´nlineal entre dos K–espacios. Sean S ≤ V y o o T ≤ W subespacios. Se consideran f (S) = {f (a) | a ∈ V }y f −1 (T ) = {a ∈ V | f (a) ∈ T }. Se sigue que f (S) ≤ W y f −1 (T ) ≤ V son subespacios. Demostraci´n: Si a1 , a2 ∈ V y t1 , t2 ≤ K, como t1 f (a1 ) + t2 f (a2 ) = f (t1 a1 + t2 a2 ), f (S) es o un subespacio. Si suponemos que a1 , a2 ∈ f −1 (T ), se tiene que f (a1 ), f (a2 ) ∈ T . Por lotanto, como consecuencia de la misma expresi´n f (t1 a1 + t2 a2 ) ∈ T , luego t1 a1 + t2 a2 ∈ f −1 (T ). o Evidentemente, f ({0}) = {0} y f −1 (W ) = V . El subespacio f (V ) se llama Imagen de f y se denota Im f y caracteriza la suprayectividad de f : f es suprayectiva (epimorfismo) si y s´lo o −1 ({0}) se llama N´cleo de f y se denota Ker f . si Im f = W . Por otra parte el subespacio f u Estesubespacio mide la inyectividad de f , como demuestra el resultado siguiente. Lema 2.2. Una aplicaci´n lineal f : V → W es inyectiva (monomorfismo) si y s´lo si Ker f = o o {0}. Demostraci´n: Supongamos que f es inyectiva. Si a ∈ Ker f , f (a) = 0. Como 0 = f (0), se o deduce que a = 0. Rec´ ıprocamente, supongamos que Ker f = {0}. Si f (a1 ) = f (a2 ), como f es lineal, f (a1 − a2 ) = 0, luego a1 − a2∈ Ker f = {0}. Estudiaremos el comportamiento de f con respecto a una familia de vectores. Proposici´n 2.3. Sea f : V → W una aplicaci´n lineal entre dos K–espacios, y sea F = o o {a1 , · · · , an } una familia de vectores de V . Se tiene (1) f (K a1 , · · · , an ) = K f (a1 ), · · · , f (an ) . (2) Si F genera V , {f (a1 ), · · · , f (an )} genera Im f . (3) Si F es libre y f es inyectiva,...