algebra

´
Algebra.
GIQ
Diagonalizaci´
on (resumen temas 5 y 6)
Gabriela Sansigre Vidal
Dpto Matem´atica Aplicada a la Ingenier´ıa Industrial

Contenidos

Semejanza de matrices
Valores y vectorespropios:
polinomio caracter´ıstico
subespacios propios: dimensi´
on

Diagonalizaci´
on
Matrices normales: diagonalizaci´
on unitaria
Matrices reales y sim´etricas: clasificaci´
on
Cocientede Rayleigh

Semejanza de matrices

A, B son semejantes ⇔ ∃ P invertible tal que P−1 AP = B

A es diagonalizable ⇔ es semejante a una matriz diagonal

Valores y vectores propios

λ ∈ C esun valor propio o autovalor de A ∈ Cn×n si existe un
vector v ∈ Cn \ {0}, y tal que
Av = λv
el vector v se llama vector propio o autovector de A

C´alculo de los valores propios
Av = λv,

v=0r (λI − A) < n ⇔ det(λI − A) = 0
χA (λ) := det(λI − A) es el polinomio caracter´ıstico de la matriz
Sus ra´ıces son los valores propios, si λ1 , λ2 , . . . , λs son distintos
χA (λ) = (λ − λ1)σ1 (λ − λ2 )σ2 . . . (λ − λs )σs
σj (j = 1, . . . , s) se llama multiplicidad algebraica de λj

C´alculo de los vectores propios
Av = λv,

v=0

v ∈ ker(A − λI)
Dos propiedades muy importantesker(A − λ1 I) ⊕ ker(A − λ2 I) ⊕ · · · ⊕ ker(A − λs I)
1 ≤ dim ker(A − λj I) ≤ σj
dim ker(A − λj I) se llama multiplicidad geom´
etrica de λj

Algunas propiedades

det A = λσ1 1 · · · λσs s ,trA = σ1 λ1 + · · · + σs λs ,
1
valor propio de A−1
λ
Las matrices reales de orden impar tienen, al menos, un valor propio
real.
A invertible,

λ valor propio de A ⇔

A real, α ∈
/ Rvalor propio, entonces
Av = αv

⇔

⇒ v y v linealmente independientes

Av = α v

Diagonalizaci´
on
A es diagonalizable

Cn = ker(A − λ1 I) ⊕ · · · ⊕ ker(A − λs I)

Las multiplicidadesalgebraica y geom´etrica coinciden ⇔ existe base de
Cn formada por vectores propios de A
Adem´as, si A real y los autovalores son reales, existe base de Rn formada
por vectores propios de A...