algebra

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O[ C

Dlf[R[NCIAl [ INT[

TRADUZIDO DO INGLES
POR

J.

ABDELHA Y

PROFESSOR DA UNIV. DO BRASIL

EDITORA CIENTIFICA
RIO DE JANEIRO

Ginn and Company
Boston, New York, Chicago, London, Atlanta
Dallas, Columbus, San Francisco

COPYRIGHT BY GINN AND COMPANY OF BOSTON

Direitos exclusivos da traduO

Se j (x)

20.

=:ca,

mostre que

h) -

hJ (x)

1

ache lim j (IX
h->O

+ h)

- j (x

h

19. - Infinitesimo. Uma variavel v que ten
um injinitesimo, ou urn infinitamente pequeno. Es
lim v =

° ou

v ---+ 0,

e significa que os valores sucessivos de v se aproxi
modo tal que a partir de dado momento 0 valor ab
na-se e permanece menor do que urn n11mero qu
ainda que muito pequeno.
Se lim v = l, entao lim (v - l) =0, isto e, a dije
ridvel e seu limite e um injinitesimo. Reclprocam
re~a entre uma varidvel e uma constante e um injin
varidvel tende d constante.

°

20. - Teoremas relativos aos infinitesimos
considera~oes a seguir, supoe-se que tOdas as vanave
de ~ma mesma variavel independente e que tendem
limites, quando esta variavel tende a um valor fixo
E e tun D11mero positivo prefixado, taopequeno qu
mas nao zero.
Demonstraremos primeiro quatro teoremas sob

I. Uma soma algebrica de n injinitesimos e um in
n um numero Jixo.
Realmente, 0 valor absoluto da soma fica e pe
do que E quando 0 valor absoluto de cada infinites
E

manece menor do que - .
n

menor que

quando

f,

valor absoluto do infinitesi

0

f

que - .

lei

III. 0 produto de n injinitesimos eum injinitesim
numero jixo.
Realmente, 0 valor absoluto do produto ficara
menor que f, quando 0 valor absoluto de cada infinite
manecer menor que a raiz n-egesima de f.
IV. Se lim v = l e l e dijerente de zero, entao
injinitesimo i por v e tambem um injinitesirrio.

0

q

De fato, podemos escolher um nllinero positivo
tal que Iv I se tome e permaneo

+v -

w) = A

De (1)deduzimos u = A + i, v=B
AB de membro, obtemos
(4)

uv - AB = Aj

Pelos teoremas I-III acima,
logo
(5)

0

lim uv
"'....0

+ j.

+B -

C.

Multiplican

+ Bi + ij.

segundo membro e u

=

AB.

22

VARIAVEIS, FUNQOES E L?lITES

A demonstraQao se estende facilmente ao produto
Finalmente, podemos escrever
(6)

u
-; -

A

A

B

= B

+i
+j

A
-

B

Bi- Aj

= B (B

+ j)

o

numerador Bi - Aj e um infinitesimo, pelos t
Por (3) e (4), lim B (B + j) = B2; logo, pelo teorem
membro de (6) e um infinitesimo, e portanto
(7)

Conseqiientemente as

afirm~oes

do § 16 estao de

21. - Introdu~ao. Vamos agora investigar 0 m
func;ao muda de valor quando a variavel indepen
problema fundamental do Calculo Diferencial e estab
dida para avariac;ao da func;ao com precisao m
investigando problemas desta natureza, lidando com
variam com continuidade, que Newton* foi conduz
dos principios fundamentais do Calculo, 0 mais cien
instrumento do Mcnico moderno.

22. - AcrescUnos. Acrescimo de uma variave
um valor numerico para outro e a diferenc;a entre es
e 0 primeiro. Um acrescimo de x e indicado pelo s
se l~ "delta x". Observe0 leitor que 0 simbolo D.:x
um produto e portanto nao e "delta vezes x".
Um acrescimo pode, evidentemente, ser positivo
e positivo se a variavel cresce, negativo se decresc
mente,
D.y indica urn acrescimo de y,
D.rP indica um acrescimo de rP,
D.J (x) indica urn acrescimo de J (x), et

Se em y = J (x) a variavel independente x tom
D.:x, entao D.y indicara 0 correspondente acrescimo
(ouda varia.vel dependente y).
o acrescimo D.y e, pois, a diferenc;a entre 0 val
toma em x
D.:x e 0 valor da func;ao em x. Por

+

• Isaac Newton (1642-1727) nasceu na Inglaterr&. Foi um bomem de
Deeenvolveu a ci~naia do cAlculo sob 0 nome de Fluxions. Embora tenha
d& nova ci~ncia po. volta de 1670, ""u primeiro trabalho sobre 0 aaounto
com 0 titulo de "Philoeophiae N aturali8 Principia...