Algebra

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ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
ALGEBRA LINEAL
Ing. Griselda Ballerini
2006

1- Combinación lineal y espacio generado.

Definiciones:

1-1- Dado V ( espacio vectorial ), y v1, v2, ....., vn vectores de V, se llama combinación lineal de los vi a un nuevo vector de V tal que:

v = ( 1 v1 + ( 2 v2 + .......+ ( n vndonde los ( i son escalares

1-2- Conjunto generador de un espacio vectorial: Se dice que v1, v2, ....., vn generan V si y sólo si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de los vi .

Ejemplos:

a) n+1 vectores generan Pn ( polinomios de grado menor o igual a n ).
1, x, x2, ....., xn generan Pn.b) 4 vectores generan M2x2.

[pic]

1-3- Espacio y subespacio generado por un conjunto de vectores

Dados v1, v2, ....., vk vectores del espacio vectorial V, se llama así al conjunto de todas las combinaciones lineales de los v1, v2, ....., vk

gen = ( v1, v2, ....., vk ( = ( v / v = ( 1 v1 + ( 2 v2 + .......+ ( k vk (

Todo conjunto de generadoresdetermina un subespacio de V

Ejemplos:

a) Subespacio generado por dos vectores no paralelos en V 3

Dados v1 = (2,-1,4) y v2 = (4,1,6)
H = gen ( v1, v2 ( = ( v / v = ( 1 v1 + ( 2 v2 (

Sea v = ( x, y, z ) un vector cualquiera de V 3, entonces:
( x, y, z ) = ( 1 (2,-1,4) + ( 2 (4,1,6) de donde se obtiene el sistema:

2 ( 1 + ( 2 = x
- ( 1 + ( 2 = y
4 ( 1 + 6 ( 2 = zResolviendo

( 1 ( 2 b
2 4 x
-1 1 y
4 6 z
6 2 y + x
-4 2 z - 4 x

Este sistema tendrá solución sí [pic]12 z - 24 x = -8 y - 4 x [pic]20 x - 8 y - 12 z = 0
que representa la ecuación de un plano que contiene al origen. Subespacio de V 3

Dos vectoresno paralelos en V 3 generan un plano que contiene al origen

b) Subespacio generado por dos vectores paralelos en V 3.

Dados v1=(2,4,-6) y v2=(-1,-2,3)
H= gen ( v1, v2 ( = ( v / v = ( 1 v1 + ( 2 v2 (

Si v = ( x, y, z) entonces
(x, y, z ) = ( 1 (2,4,-6) + ( 2 (-1,-2,3) de donde se obtiene el sistema:

2 ( 1 - ( 2 = x
4 ( 1 - 2 ( 2 = y
-6 ( 1 + 3 ( 2 = z

Resolviendo( 1 ( 2 b
2 -1 x
4 -2 y
-6 3 z
0 2 y - 4 x
0 2 z + 6 x

Este sistema admite solución si 2 y - 4 x = 0
6 x + 2 z = 0 que representa la ecuación de una recta dada por la intersección de dosplanos proyectantes y que pasa por el origen. Subespacio de V 3 .

Todo par de vectores paralelos en V3 genera una recta pasante por el origen

Propiedad:
Si v1, v2, v3, v4,........ vn, vn+1 son vectores del espacio vectorial V y si v1, v2, v3, v4,........ vn
generan V, entonces también lo generan v1, v2, v3, v4,........ vn, vn+1.

Ejemplo:
1) Probar si los siguientes vectores generan V 2.Justificar.

a) v1=(1,2) v2=(3,4)

Si v=(x,y) representa un vector genérico de V 2, entonces:
(x,y) = ( v1 + ( v2 ( (x,y) = ( (1,2) + ( (3,4)

( ( b
1 3 x
2 4 y
-2 y - 2 x

Este sistema tiene solución única para ( y (. Resolviendo ( = x - 1/2 y( = -2 x + 3/2 y

Entonces: ( x, y ) = (- 2 x + 3/2 y ) (1,2) + (x - 1/ 2 y ) ( 3,4)

Todo conjunto de dos vectores no nulos y no paralelos genera V 2 .

b) v1=(1,1) v2=(2,1) v3=(2,2)

Sabemos que dos vectores no paralelos generan V 2 , entonces { v1,v2 } lo generan,
Debemos probar que {v1,v2,v3} también generan V 2.
Planteamos la combinación lineal de los vi para obtener...
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