Algebra

Tema 3

Espacios vectoriales reales.
3.1

Espacios vectoriales.

Definici´n 3.1 – Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados veco
tores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma de vectores” y otra que
recibe el nombre de “producto de vectores por n´meros reales” o “producto por escalares”, que
u
verifica las siguientes propiedades:
(1). u +v ∈ V ; ∀u, v ∈ V
(2). u + v = v + u ; ∀u, v ∈ V
(3). u + (v + w) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V
(4). Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0 , tal que: 0 + u = u + 0 = u ;
∀u ∈ V
(5). Para cada vector u ∈ V , existe un vector de V , llamado opuesto de u y denotado por
−u , tal que u + (−u) = 0
(6). k u ∈ V ; ∀k ∈ IR y ∀u ∈ V
(7). k (u + v ) = k u + k v ; ∀k ∈ IR y ∀u, v ∈ V(8). (k + l)u = k u + lu ; ∀k, l ∈ IR y ∀u ∈ V
(9). (kl)u = k (lu) ; ∀k, l ∈ IR y ∀u ∈ V
(10). 1u = u ; ∀u ∈ V
Por ser los escalares de IR, se dice que V es un IR-espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre cuerpos de escalares distintos de IR, en particular, suelen ser
interesantes los espacios vectoriales complejos, donde los escalares son de C.
Proposici´n 3.2 –Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
o
a) 0u = 0
b) k 0 = 0
c) (−1)u = −u
d) k u = 0 ⇐⇒ k = 0 ´ u = 0
o
e) El vector cero de un espacio vectorial es unico
´
f) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es unico
´

3.2

Subespacios vectoriales.

Definici´n 3.3 – Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio
o
vectorial de Vsi W es por si solo un espacio vectorial con las operaciones definidas en V .
Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto
es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W , es
decir, que se verifican las propiedades (1) y (6) en W :
Preliminares.

35

3.3 Base y dimensi´n.
o

(1’). u + v ∈ W ; ∀u, v ∈ W(6’). k u ∈ W ; ∀u ∈ W y ∀k ∈ IR
Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad unica:
´
k u + lv ∈ W ;

∀u, v ∈ W y ∀k, l ∈ IR.

Observaci´n:
o
Es claro, que si W es un subespacio de V , entonces 0 ∈ W .
Definici´n 3.4 – Se dice que un vector v ∈ V es una combinaci´n lineal de los vectores
o
o
v1 , v2 , . . . , vn si, y s´lo si, ∃c1 , c2 , . . . , cn ∈ IR tales que v = c1 v1 +c2 v2 + · · · + cn vn .
o
Definici´n 3.5 – Dado un conjunto de vectores S = {v1 , v2 , . . . , vk } de un espacio vectorial V ,
o
podemos considerar el subespacio vectorial m´s peque˜o que contiene al conjunto de vectores S
a
n
(ver ejercicios 3.4 y 3.5). Dicho subespacio, es el conjunto de todas las combinaciones lineales que
se pueden formar con los vectores del conjunto S , que sedenomina subespacio lineal generado
por S y se denota por lin S ´ lin{v1 , v2 , . . . , vk } , y se dir´ que v1 , v2 , . . . , vk generan lin S .
o
a
Definici´n 3.6 – Dado un conjunto S = {v1 , v2 , . . . , vk } de vectores del espacio vectorial V , la
o
ecuaci´n vectorial c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0 tiene al menos una soluci´n, a saber: c1 = c2 =
o
o
· · · = ck = 0 . Si esta soluci´n esunica, entonces se dice que S es un conjunto linealmente
o
´
independiente (o que los vectores de S son linealmente independientes). Si existen otras
soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente (los vectores son linealmente
dependientes).
Se tiene la siguente caracterizaci´n para que un conjunto de dos o m´s vectores sea linealo
a
mente dependiente (ver ejercicio 3.9):
“Unconjunto de dos o m´s vectores es linealmente dependiente si, y s´lo si, al menos
a
o
uno de los vectores es una combinaci´n lineal de los restantes.”
o

3.3

Base y dimensi´n.
o

Definici´n 3.7 – Si V es un espacio vectorial y S = {v1 , . . . , vn } es un conjunto finito de
o
vectores de V , diremos que S es una base de V si:
a) S es linealmente independiente, y
b) S genera a V ....