Algebra

Álgebra Lineal
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viernes, 25 de mayo de 2012
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
=Adicción =
Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

=Sustracción=
Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)=Multiplicación=
Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

=Potenciación=
La potenciacion de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicacion reiterada:  Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

=Forma Binomica=
La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + biOperaciones de números complejos en su forma Binomica: La suma y diferencia de numeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si. 
* +(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
* -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i 
=Multiplicación con números complejos=
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del productorespecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

=División con números complejos=
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este. 

=Ejemplo=
(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i – i) = -4 + i 

= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}

=(5 + 3i) + {(-1 +7) + (2i – 5i)} 

= (5 + 3i) + (6 – 3i) 

= (5 + 6) + (3i – 3i) 

= 11
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sábado, 26 de mayo de 2012
1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

=Potencias de la unidad imaginaria=
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto valeuna determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

=Ejemplo
i22

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

=Valor absoluto=
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absolutode un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejosgracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

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sábado, 26 de mayo de 2012
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.
FormaPolar

El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

=Argumento de un número complejo=
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma elvector con el eje real. Se designa por arg(z).

Forma exponencial

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra experesarse de las siguientes maneras:

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sábado, 26 de mayo de 2012
1.5 Teorema de De...