Algebra

8.75 Sea A una matriz cuadrada de orden n. El rango determinántico (o rango por determinantes) de A es el orden de la mayor submatriz de A (obtenidaquitando filas y columnas de A) cuyo determinante es diferente de cero. Mostrar que el rango dererminántico de A es igual a su rango, esto es, elnúmero máximo de filas (o columnas) linealmente independientes.
Solución: Cálculo del rango usando determinantes.
Si a un menor M de orden h de la matriz Ase le añade la fila p y la columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M escalonandoeste menor con la fila p y la columna q. Por ejemplo, el método para el cálculo del rango es un proceso iterado que sigue los siguientes pasos:

Estaes la submatriz y su rango es el mismo que el de la matriz.
Antes de comenzar el método se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos son0, el rango será 0. El elemento encontrado será el menor de orden k=1 de partida.
1. Se escalona el menor de orden k hasta encontrar un menor de ordenk+1 no nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a éste el método.
2. Si todos los menores orlados obtenidos añadiéndole almenor de partida los elementos de una línea i0 son nulos, podemos eliminar dicha línea porque es combinación de las que componen el menor de orden k.
3.Si todos los menores de orden k+1 son nulos el rango es k. (Si aplicamos bien el método en realidad, al llegar a este punto, la matriz tiene orden k).