Algoritmos analisis numerico

METODO DE LA BISECCIÓN Si f :a, b     es continua con fafb  0, el procedimiento de la bisección genera una sucesión (s n ) n convergente siendo s n  a n  b n y tal 2 que si lim s n  s se cumple que fs  0 y
n

 s n  s  b n a 2

ALGORITMO DE LA BISECCION Cálculo de una solución aproximada de la ecuación fx  0, siendo f continua en a, b y fafb  0.ENTRADA: a, b, f; N (número máximo de iteraciones) SALIDA:Solución aproximada s 1.Tomar i  1 2. Mientras que i  N hacer 2.1. s  a  b/2 2.2. Si fs  0 entonces ssolución exacta. 2.3. Si fafs  0 entonces b  s Si fafs  0 entonces a  s 2.4. i  i  1 3. Salida s: "solución aproximada" 4.FIN

EJEMPLO 1 La funcion fx  x 3  4x 2  10 tiene dos raíces como muestra la siguiente figura.y 200

150

100

50 0 -5 -2.5 0 2.5 x 5

an

bn

s n1

fs n1 

1 1 1.25 1.25 1.3125 1.34375 1.35937 1.35937 1.36328 1.36328 1.36425 1.36474 1.36499

2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.375 1.375 1.36718 1.36718 1.36523 1.36523 1.36523 1.36523

1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.35937 1.36718 1.36328 1.36523 1.36425 1.36474 1.36499 1.36511
y 1.25 0 -1.25 -2.5 -3.75 -5

2.375-1.79687 0.16210 -0.84838 -0.35098 -0.09640 0.03235 -0.03214 7.20247610 5 -0.01604 -0.00798 -0.00395 -0.00194

1

1.125

1.25

1.375 x

1.5

Ejemplo: Mediante el algoritmo de la bisección y con un error menor que 10 5 , calcular una solución aproximada de fx  x  2 x
y

1 0.5 0

-0.5 -0.5 -1 -1.5

0

0.5

1 x

1.5

n 1 2 

an 0 0. 5 

bn 1 1 

sn 0. 5 0. 75 fs n  0. 207 11 0. 155 40 

17 0. 64117 0. 64118 0. 64118

ALGORITMO DEL PUNTO FIJO Cálculo de una solución aproximada de la ecuación fx  x  0, siendo f continua en a, b con fa, b  a, b, f derivable en a, b con |f´x |  k  1

ENTRADA: s 0 , f; N (número máximo de iteraciones) SALIDA:Solución aproximada s 1. s  fs 0  2. Desde i  1 hasta N hacer 2.1. s  fs 2.2. i i  1 3. Salida s: "solución aproximada" 4.FIN

EL METODO DEL PUNTO FIJO Definición: Diremos que una función f : a, b   tiene a x  a, b como punto fijo si fx  x Teorema: Sea f : a, b   continua con fa, b  a, b. Entonces f tiene un punto fijo,si además, f es derivable y f´x  1 x  a, b el punto fijo es único. Teorema del Valor Medio: Sea f : a, b   continua yderivable en a, b   c  a, b tal que fb  fa  f´cb  a Teorema: Sea f : a, b   continua y derivable en a, b con: i) fa, b  a, b. ii) f´x  k  1 x  a, b Entonces si s 0 es cualquier número  a, b, la sucesión definida por s 1  fs 0 , ......, s n  fs n1  n  , converge al único punto fijo s  a, b. Además las cotas para el error son:

1. s n  s K n máxs 0  a, b  s 0   K n b  Kn  s0  s1  2. s n  s  1K

EJEMPLO 2

Calcular aproximadamente el punto fijo de la función 10 fx  4x con 10 iteraciones, y calcular el error cometido

y

3.75

2.5

1.25 0 -2.5 -1.25 -1.25 0 1.25 2.5 3.75 x

-2.5

n

s n1  fs n 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.5 1.348399724 1.367376371 1.364957015 1.365264748 1.3652255941.365230575 1.365229941 1.365230022 1.365230012 1.365230013

EJEMPLO 3 Aplicando el método de iteración de punto fijo resolver la ecuación x 3  x  1  0 con un error menor que 10 5

y

5

3.75

2.5

1.25 0 -1 -0.5 -1.25 0 0.5 1 1.5 x 2

yx 3 -x-1

x3  x  1  0  x 

3

x  1. La función que iteramos es x1

fx 

3

y

2

1.5

1

0.5

0

0

0.5

11.5 x

2

n S n1  fs n  0 1.5 1 1.357208808 2 1.330860958 3 1.325883774 4 1.324939363 5 1.324760011 6 1.324725945 7 1.324719474 8 1.324718245

EL METODO DE NEWTON-RAPHSON. Teorema: Sea f  C 2 a, b. Si s  a, b es tal que fs  0 y f´s  0. Entonces    0 tal que  s 0  s  , s   la sucesión de Newton -Raphson , fs n  s n1  s n  , está bien definida y f´s n ...