Análisis Combinatorio

Análisis combinatorio

Podemos considerar el análisis combinatorio como el conjunto de procedimientos y técnicas que nos permite determinar el número de subconjuntos que pueden formarse a partir de un conjunto dado, de acuerdo a ciertas instrucciones.

Estas deben indicar claramente como se diferencian dos subconjuntos entre si,
de acuerdo a:
* La naturaleza de los elementos.
* Elorden de los elementos.

Conteo

Para calcular la cantidad de elementos que tienen los conjuntos formados con ciertas reglas, sin que sea necesario saber enumerarlos uno a uno se utiliza el principio fundamental del conteo.

Este principio establece que si un evento puede tener lugar de m maneras diferentes y, luego de sucedido éste, un segundo evento puede suceder de p maneras distintas, elnúmero de formas diferentes en que pueden realizarse los dos eventos es:

m× p

Factorial de un número

Se define como factorial de un número natural n al producto de n por todos los números que le preceden. Se denota mediante n!: n!=1(2)(3)(4)××× (n -1)(n)

Por definición, el factorial de cero es uno: 0!º1 El factorial de un número crece de forma muyconsiderable.

Ejemplos:
3!=1(2)(3) = 6
5!=1(2)(3)(4)(5) =120
8!=1(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) = 40,320
14!=1(2)(3)(4)××× (13)(14) = 87,178'291,200

Ordenaciones

Sea un conjunto de p elementos distintos. Si de ellos se toman grupos ordenados de elementos diferentes, a cada una de estas disposiciones se les llama ordenaciones de p elementos tomados de q en q.

Esto significa que son las distintasagrupaciones que se pueden formar de manera que dos diferentes agrupaciones difieran de un elemento o en su orden.

Variaciones

Variaciones de N elementos tomados de n en n:
Son los diferentes grupos que pueden formarse con los N elementos dados, tomados de n en n, de modo que dos grupos difieren entre sí porque o son distintos o sus elementos están en distinto orden.

Variaciones conrepetición de N elementos tomados de n en n:
Son los diferentes grupos que pueden formarse con los N elementos dados, tomados de n en n, en los que pueden aparecer elementos repetidos, de modo que dos grupos difieren entre sí porque o son distintos o sus elementos están en distinto orden.

Permutaciones
El estudio de las permutaciones de las raíces de una ecuación de cierto grado le permitió aGalois, elaborar los inicios de la teoría de grupos y usar este vocablo, por primera vez, en Matemática. Y empezó por los grupos no abelianos.
Una permutación s un arreglo ordenado de r objetos, seleccionados de entre n objetos.
Tipos de permutaciones:
1. Los n objetos son diferentes, y se permite la repetición al seleccionar r de ellos. Este se maneja utilizando el principio de lamultiplicación.
2. Los n objetos son diferentes, y no se permite la repetición al seleccionar r de ellos.
3. Los n objetos no son distintos, y los utilizamos todos en el arreglo.
Permutaciones de r objetos seleccionados de entre n objetos distintos, sin repetición
El numero de arreglos de n objetos utilizando r n de ellos, donde
1. Los n objetos son distintos.
2. Una vez utilizando unobjeto no se puede usar de nuevo.
3. El orden es importante.
Fórmula:
P (n, r) = n!
(n – r)!

Permutaciones que incluyen n objetos que no son distintos.
El número de permutaciones de n en los que n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo,…, y nk son de un k-ésimo tipo, está dado por la fórmula donde n=n1 + n2 + … nk
Fórmula:
n!
n1! • n2! • … • nk!Se puede concluir, a partir de lo anterior, que las permutaciones son un caso particular de ordenaciones, cuando se consideran todos los elementos del conjunto.

Ejemplo.
¿Cuántos son los anagramas (transposiciones de letras) de la palabra PRÁCTICO?

Solución.
Cada anagrama de PRÁCTICO es nada más que una ordenación de las letras P, R, A, C, T, I, C, O. De esta manera la cantidad de...