análisis de sispot

ANÁLISIS
ANÁLISIS DE
DE SISTEMAS
SISTEMAS DE
DE
POTENCIA
POTENCIA

Universidad del Valle
Cali
2006

PPIEEC-CAGS

CONCEPTOS BÁSICOS

• Métodos numéricos
• Ejemplo métodos numéricos-teorial circuital

PPIEEC-CAGS

MÉTODOS NUMÉRICOS

• Solución de sistemas de ecuaciones lineales y no
lineales
• Gauss-seidel
• Newthon-raphson

PPIEEC-CAGS

i1 = i2 + i3
20
40
i3 = ,i2 =
v1
v2
PPIEEC-CAGS

100 = 10 * i1 + v1
v1 = 20 * i2 + v2
40 20
100 = 10 * ( + ) + v1
v2 v1
40
v1 = 20 * + v2
v2
PPIEEC-CAGS

GAUSS - SEIDEL
a11X1 + a12X2 + a13 X3 = b1
a21X1 + a22X2 + a23X3 = b2
a31X1 + a32X2 + a33X3 = b3

a11 a12
a 21 a 22

a13 x1 b1
a 23 x 2 = b2

a 31 a 32

a 33 x 3 b3

AX = B

PPIEEC-CAGS

GAUSS - SEIDEL
( n+1)
1

x
x

( n+1)
2x

( n+1)
3

[
= [b − a
= [b − a

(n)
12 2

= b1 − a x
2

( n+1)
21 1

3

( n+1)
31 1

x

x

(n)
13 3

−a x

(n)
23 3

−a x

]/ a
]/ a
]/ a

( n+1)
32 2

−a x

11
22
33

Los superíndices indican el valor de la variable en el
estado n. Se puede observar que a medida que se
calculan nuevos valores para Xi, estos se utilizan en las
ecuacionessiguientes.
PPIEEC-CAGS

GAUSS – SEIDEL
CONVERGENCIA
Se garantiza convergencia (reales) si la matriz A es
diagonalmente dominante.

n

aii > ∑ aij
j =1
j≠i

YBUS cumple en gran medida esta condición
PPIEEC-CAGS

GAUSS – SEIDEL
EJEMPLO
12X1 - 4X2 + 6X3 = 80
-2X1 + 6X2 + X3 = -12
5X1 + 7X2 - 13X3 = -77

[
=[ −12+ 2 x
=[ −77−5x

( n +1)
x1 =
( n +1)
x2
( n +1)
x3(n)
80+ 4 x2

SOLUCIÓN
X1 = 3, X2 = -2,
X3 = 6

]/12
− x ]/ 6
−7x
]/( −13)

(n)
− 6 x3

( n +1)
1

( n +1)
1

(n)
3

( n +1)
2

PPIEEC-CAGS

NEWTHON - RAPHSON

PPIEEC-CAGS

NEWTHON - RAPHSON
T esta mas cerca a la raíz r, que n. De la gráfica:
TN = ON – OT
Que equivale a:
TN = xn – xn+1
PN = F(xn)

F ( xn )
TANG θ = PN / TN =
xn − xn +1
PPIEEC-CAGSNEWTHON - RAPHSON

TANG θ = F ′( xn )

F ( xn )
xn +1 = xn −
F ′ ( xn )

PPIEEC-CAGS

NEWTHON - RAPSHON
Sea:

x2 = x+2

Es necesario reescribir la ecuación en la forma f(x) = 0.
Entonces:

X2 – X - 2 = 0
F(x)= x2 – x - 2
F´(x)= 2 x - 1

PPIEEC-CAGS

NEWTHON - RAPHSON

xn +1 = xn −

2
xn

− xn − 2
2 xn − 1
PPIEEC-CAGS

NEWTHON - RAPSHON

n

Xn

Xn-Xn-1

04

1

2.57

-1.43

2

2.08

-0.49

3

2.002

-0.08

4

2

-0.002

5

2

PPIEEC-CAGS

SERIES DE TAYLOR
( x − xi ) dF ( xi ) ( x − xi ) 2 d 2 F ( xi )
( x − xi ) n d n F ( xi )
+
+ ... +
F ( x ) = F ( xi ) +
2
1!
2!
dx
dx
n!
dx n
( x − xi ) n d n F ( xi )
F ( x) = ∑
n!
dx n
n =0
∞

El objetivo de las series de Taylor es el de convertir unafunción
cualquiera en un polinomio.
Obsérvese que las derivadas que forman parte de la expresión anterior,
realmente son derivadas evaluadas en un punto. Es decir, son
constantes.
PPIEEC-CAGS

SERIES DE TAYLOR
Sea

f ( x) =

1
x+5

Para expresar esta función en series de Taylor, debemos:
a) Calcular sus derivadas
b) Presentar la nueva función, con base en sus derivadas
c)Seleccionar un punto alrededor del cual se expresa la función

PPIEEC-CAGS

SERIES DE TAYLOR
a)

Calcular sus derivadas. Se selecciona X=3 (arbitrariamente)

1
f ´( x ) = −
,
3
2 ( x + 5)
f ´´( x ) =

3
4 ( x + 5)

f ´´´( x ) = −

5

f ´´( x ) =

,

15
8 ( x + 5)

1
f ´( x ) = −
= −0.022
3
2 (3 + 5 )

7

3
4 (3 + 5)

, f ´´´( x ) = −

5

= 0.00414

15
8 (3 +5)

7

= −0.00129

PPIEEC-CAGS

SERIES DE TAYLOR
B) Presentar ecuación en función de las constantes

1
f (3) =
= 0.3535
3+ 5

( x − 3)
( x − 3) 2
( x − 3)3
F ( x ) = 0.3535 +
* ( −0.00129) + ....
* ( −0.022) +
* 0.00414 +
6
1
2

F ( x ) = 0.3535 − 0.022 * ( x − 3) + 0.002071 * ( x − 3) 2 − 0.000215 * ( x − 3)3 + ....
PPIEEC-CAGS

SERIES DE TAYLOR
F ( x ) =...