Análisis De Varianza

Análisis de varianza

Análisis de varianza

Es una técnica por medio de la cual la variación total
es analizada o dividida en aquellos componentes que tengan
mayor sentido con el propósito de probar hipótesis relevantes
acerca de los parámetros de modelos. El grado de dificultad
del análisis dependerá de la complejidad del problema.

Una de las aplicaciones de esta técnica es larelacionada con
problemas en los cuales debemos decidir si las diferencias
entre más de dos medias se puede atribuir al azar, o si por el
contrario, existen diferencias reales entre las medias de las
poblaciones en las que se efectúa el muestreo.

Análisis de varianza

Clasificación en una dirección o sentido
Supongamos que seleccionamos muestras aleatorias de tamaño “n”

de cada una de las“k” poblaciones; supongamos también que las
muestras de las “k” diferentes poblaciones se clasifican en base a un
solo criterio, tales como “diferentes tratamientos o grupos”.
El término tratamiento tiene su origen en que muchas de las técnicas
del ANOVA fueron diseñadas para experimentos agrícolas y en este
tipo de experimentos se consideran distintos fertilizantes, riegos, etc.,
comodiferentes tratamientos aplicados al suelo.
Se asumirá también que las “k” poblaciones son independientes y que
están normalmente distribuidas y sus medias son 1, 2,..., k, además
tienen una varianza común  2
El objetivo es desarrollar métodos apropiados para probar hipótesis
del tipo: H0: 1 = 2 =... = k
H1: Al menos 2 de las medias son diferentes.

Sea yij la j-ésima observación deli-ésimo tratamiento con los
datos ordenados como en la siguiente tabla:
Tratamientos
1

2

...

i

...

k

1

Observaciones

Análisis de varianza

Clasificación en una dirección o sentido

y11

y21 ...

yi1 ...

yk1

2

y12

y22 ...

yi2 ...

yk2

.

.

.

.....

.

j

.

.

yij ...

.

.

.

.

.....

.

y2n ...
T2. ...
y2. ...yin...
Ti. ...
yi. ...

ykn
Tk .
yk .

n

y1n
T1.
Total
Media y1.

T..
y..

T.. es el total de todas las nk
observaciones y y.. es la media
de todas las nk observaciones;
de esta forma cada observación
puede escribirse en la forma:
yij = i +  ij
Donde ij representa el error
aleatorio y mide la desviación
de la j-ésima observación de la
i-ésima muestra deltratamiento
correspondiente.

Una forma alterna y más preferida de esta ecuación se obtiene al sustituir i =  + i
k

sujeta ésta a la restricción:  i =0 quedando la ecuación de la siguiente manera:
i=1

yij =  + i +  ij donde  es la gran media, es decir:
i se denomina el efecto del i-ésimo tratamiento.

k

 i
 = i=1
k

Análisis de varianza

Clasificación en una dirección osentido
La prueba se basará en la comparación de dos estimaciones
independientes de la varianza poblacional común  2. Estas estimaciones
serán obtenidas dividiendo la variabilidad total de los datos, designada por
la doble sumatoria:
k

n

i=1

j=1

k

n

  (yij – y..) 2 en dos componentes
2

k

k

n

  (yij – y..) = n (yi. – y..) +   (yij – yi.)
i=1

j=1SST
Suma Total de
Cuadrados

2

i=1

i=1

SS(Tr)
Suma de
Cuadrados de
los tratamientos
variación entre
las medias de
las muestras

Estadístico para la prueba
referente a las diferencias f =
entre medias

MS(Tr)
MSE

2

j=1

Identidad de la suma
de cuadrados

SSE
Suma de
Cuadrados
de los errores

variación de
las muestras
individuales
2
S1 = MS(Tr) = SS(Tr)K-1

2

SSE

S = MSE =
K(n-1)

Media de los cuadrados
de los tratamientos
Media de los
cuadrados del error

Clasificación en una dirección o sentido

Análisis de varianza

2

S1
MS(Tr)
Cuando H0 es verdadera, la razón f =
=2
MSE
S

es un valor de la variable aleatoria F con k-1 y k(n-1) grados de libertad.
2
Ya que S1 sobreestima  2 cuando H0 es falsa y se...