Análisis Matemático 1

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

INTRODUCCIÓN

En las ciencias exactas, como la física, la química, o en sus aplicaciones, como lo es la ingeniería, es necesario conocer los fundamentos matemáticos en los cuales nos basaremos para explicar los diferentes fenómenos físicos. También emplearemos el análisis matemático para tratar de encontrar ecuaciones que nos permitan resolver problemas prácticos.

Elestudio del análisis matemático, será dividido en dos. La primera parte, trata sobre el cálculo diferencial e integral para ecuaciones de una variable. La segunda parte (que no estudiaremos) trata sobre el cálculo diferencial e integral para funciones de dos o más variables.
Este apunte está explicado de manera sencilla y trata los temas exigidos por la cátedra de ANÁLISIS MATEMÁTICO I de laUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL (unidad académica LA RIOJA).




NOCIONES PREVIAS


Conjuntos de números

Antes de iniciar el estudio, es necesario conocer los diferentes conjuntos de números, así también como su designación.
Los “números” se encuentran estructurados de la siguiente manera:
Como puede verse, los reales están resaltados. Nosotros trabajaremos, principalmente, con númerosreales.


Símbolos

Con el fin de simplificar la escritura de las definiciones y de emplear un lenguaje único e inequívoco, emplearemos los siguiente símbolos:
|Símbolo |Significado |Símbolo |Significado |Símbolo |Significado |Símbolo |Significado |
|+ |Más |( |Mayor o igual |( |Para todo |[pic]|No existe |
|– |Menos |( |Menor o igual |( |Existe |( |No pertenece |
|· ó . ( ó (nada) |Multiplicado |( |Distinto |( |Pertenece |( |Unión |
|____ |Dividido |( |Y |( |Implica |(|Incluido |
|> |Mayor |( |O |( |Sí y sólo sí |( |Inserción |
|< |Menor |( |Infinito |: |Se verifica que |( |Conj. Vacío |
|= |Igual |( |Tiende a |/ |Tal que |(|Incremento |


UNIDAD NÚMERO 1: NÚMEROS REALES

Como vimos en la introducción, el conjunto de los números Reales está formado por el conjunto de los Naturales (positivos, cero y negativos), los cuales, a su vez, forman en conjunto de los Enteros. Los enteros y los Fraccionarios, forman el conjunto de los Racionales. Los Racionales y los Irracionales, forman el conjunto de losnúmeros reales.


EL NÚMERO REAL

Dentro del conjunto de los números reales (que a partir de ahora abreviaremos con R), podemos definir operaciones, las cuales nos permitirán estructurar, de manera axiomática, el conjunto R.
Antes de comenzar con la explicación debemos aclarar que un axioma es una verdad absoluta que se acepta como ley sin necesidad de demostración.
Los Reales gozan de tresaxiomas:
1) AXIOMAS DE CUERPO CONMUTATIVO.
2) AXIOMAS DE ORDEN.
3) AXIOMA DE CONTINUIDAD.


Axiomas de cuerpo conmutativo

En los Reales podemos definir dos operaciones:
1) Adición o suma (+).
2) Multiplicación o producto (·).

Con estas dos operaciones, podemos definir 7 axiomas de cuerpo conmutativo:
1) Propiedad del cierre: la suma o producto de dos números Reales dan comoresultado, otro número real definido en forma única: [pic]
2) Existencia del elemento neutro: la suma de un número real a, más cero da como resultado el mismo número a. El producto de un número real a por uno es el mismo número a: [pic]
3) Existencia del elemento opuesto: la suma de un número real a más su opuesto es nula: [pic]
4) Existencia del elemento simétrico: el producto de un número real a...