Analis vectorial

Análisis vectorial

Integral de línea.
Figura 1. La integral de línea.
Considere un punto inicial P i
hasta un punto final P
f

(x
i

,y
i

,x
i

) y el movimiento de P i (x
f

,y
f

,x
f

) a lo largo de una curva específica C (una línea o camino), la figura 1. El
movimiento completo P
i

a lo largo de C puede ser tratado como la suma vectorial
de una secuencia dedesplazamientos infinitesimales dl a lo largo de C. Supóngase
que existe un campo vectorial A(r) de manera que su valor puede encontrarse en
todos los puntos a lo largo del camino C. En cada paso intermediario, se evalúa A, se
multiplica su componente a lo largo de dl con la magnitud de dl y se suman todas las
contribuciones. El resultado es la integral de línea de A a lo largo del camino C yestá
dado por
Æ Pi
Pf
Pf

Acos dl2

Æ
ÆC
C

A”d l 1

Ejemplo: El trabajo realizado sobre una partícula. A representa la fuerza que actúa
sobre la partícula. Si el camino de integración es un camino cerrado, los puntos inicial y
final coinciden y la integral se escribe como
±C

Acos dl2
A”d l
2
Esta integral se llama la circulación de A y puede o no ser igual a cero. Como severá
luego, eso depende de la naturaleza de A. Si se toma r como el vector posición de cada
punto sobre C, dl = dr, donde
d r2dx1x dy1 y dz1z 3
di

ÆÆC

C A”d l2
A
x

dx A
y

dz
4
Al utilizar la ecuación (4) se debe tomar en cuenta que dx, dy, dz no pueden variar
independientemente ya que las coordenadas x, y, z están relacionadas por la ecuación
que describe el camino. Deigual manera las expresiones para A
x

=A
x

(x, y, z), etc., también
deben tomar en cuenta esta interdependencia.
Elemento de área vectorial.
Figura 2. Un elemento de área.
Veamos primero la representación de área en términos de un vector. La figura 2
muestra un ejemplo infinitesimal de área da que tiene alguna orientación con respecto
a los ejes de coordenadas. Se puede asociar unadirección con esta área, el vector
unitario n que es normal a la superficie. Entonces, se asocia un vector da con este
elemento de área y se escribe como
da = nda 5
Sin embargo hay una ambigüedad en esta definición ya que si hubieramos escogido n
en sentido opuesto aún n sería perpendicular al elemento da. Entonces es necesario
suplementar la ecuación (5) con una convención que nos dirá quéhacer. Hay dos
casos para considerar. (1) da puede ser parte de una superficie abierta bordeada o
encerrada por una curva cerrada C. Primero hay que escoger un sentido de movimiento
alrededor de la curva C que bordea la superficie abierta. Luego se doblan los dedos
de la mano derecha en el sentido del movimiento alrededor de C. Entonces por
convención, la dirección que apunta el pulgar de lamano derecha se toma como la
dirección de n. Note aquí que n sería en dirección opuesta si hubieramos escogido el
sentido de C al revés. (2) da puede ser parte de una superficie cerrada. En este caso
no hay curva que encierra la superficie sino que la superficie divide el volumen en uno
dentro y otro fuera, por
dy A

z

ejemplo la superficie de una pelota. En este caso el vector n siemprese escoge para
apuntar desde dentro hacia fuera. Veamos la figura 3.
Figura 3. Una superficie cerrada con n hacia fuera.
Considere una superficie S, dividida en elementos vectoriales de área da, la figura 4.
Figura 4. Una superficie con un elemento de área.
Se asume que existe un campo vectorial A(r) de manera que su valor puede
encontrarse en cualquier punto sobre S. En cada elemento deárea, se evalúa A y se
multiplica su componente en la dirección de da por la magnitud de da y se suman todas
las contribuciones. El resultado es la integral de superficie de A sobre S y está dada por
ØS

Acos da2

Ø
A”nda2

Ø
A”d a
6S
S

Esta integral también se llama el flujo del vector A a través de la superficie S. Si la
superficie es una superficie cerrada, el flujo neto se...