Analisis Combinatorio

ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO

Introducción

El análisis combinatorio estudia las diversas formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. Estos elementos son de cualquier naturaleza (personas, animales, objetos o sucesos) y se representan por a1, a2…. an

Algunos ejemplos ilustran lo anterior:

a) Cuantos comités de 3 personas se pueden obtener de un grupo de 20?b) De cuantas formas se pueden asignar 5 operarios a 5 maquinas distintas?

c) Cuantos números de 4 cifras diferentes y serie de 2 letras diferentes pueden formarse?

Estos y diversos ejercicios se trataran a continuación

FACTORIAL DE UN NUMERO n

La expresión n! se le llama n factorial e indica el producto sucesivo de los números desde n hasta 1, es decir:

n! = n(n-1) (n-2)….. (1)Ej: 5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-3) (5-4)

= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880

Propiedades:

0! =1

n! = n(n-1)!

n! = n(n-1) (n-2)

Se estudiaran a continuación los siguientes ítems:

1. VARIACIONES 2. PERMUTACIIONES 3. COMBINACIONES

1. Variaciones:

Dado el conjunto de n elementos{a , a a

1 2 n ……………… } se llaman variaciones de orden r a todos los grupos o subconjuntos de r elementos que se pueden elegir entre ellos, considerando que dos variaciones son diferentes cuando:

i) Tienen al menos un elemento diferente entre ellas o

ii) Cuando teniendo los mismos elementos difieren en el orden.

Por ejemplo un equipo de baloncesto formado por:

(Juan, Pedro, José,Joe y Erik) será diferente del equipo

(Pedro, Erik, Juan, José y Joe) ?

Un vehiculo de (19) millones es lo mismo que un vehiculo de (91) millones?

Ejemplo:

Sea el conjunto {a1, a2, a3 }, cuantas variaciones de orden dos se pueden obtener?

Variaciones de orden 2 (r = 2) = (a1a2), (a2a1), (a1a3), (a3a1), (a2a3), (a3a2) = 6

También pueden incorporarse (a1 a1), (a2, a2), (a3,a3)1.1 CALCULO DE LAS VARIACIONES SIN REPETICION:

Son aquellas en las que los elementos de cada una de ellas son diferentes.

V(n, r) = n! / (n-r)! r ≤ n

1.2 CALCULO DE LAS VARIACIONES CON REPETICION:

V` (n, r) = n a la r

Ejemplos:

1. Cuantos números de 4 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos del 1 al 9?

Haciendo n = 9 y r= 4 setiene que:

V (9,4) = 9! / (9-4)! = 9! / 5! = 3024 números

2. Cuantos números de 4 cifras pueden formarse con dígitos del 1 al 9, si los dígitos que forma cada número pueden repetirse?

n = 9; r = 4 → V´ (9,4) = (9)a la 4 = 6561 números

3. El transito departamental dispuso que las placas para los carros deben tener 3 dígitos y 3 letras

a) Cuantas placas puede hacerse si losnúmeros y las letras pueden repetirse?

b) Si los números pueden repetirse y las letras no?

c) Si los números no pueden repetirse y las letras si?

d) Si los números y las letras no pueden repetirse?

SOLUCION:

Asumiendo 27 letras de nuestro alfabeto se tiene:

a) Una placa puede ser [A A A 2 2 2] O también [A B C 7 1 5]

Así las letras se obtienen a través de VARIACIONES CON REPETICION:V`(27,3) = 27 a la 3= 19683

De la misma forma para los números: V´ (10,3) = 10 ª la3= 1000 números

Aplicando el principio de multiplicación, puede obtenerse: 19683 x 1000 = 19.683.000

b) Para los números V´(10,3) = 10 a la 3= 1000

Como las letras no pueden repetirse entonces es una variación sin repetición: V (27,3) = 27! / (27-3)! = 17550

Por el principio de multiplicación: 1000x 17550 = 17.550.000 placas.

c) Dado que los números no pueden repetirse, entonces:

V (10,3) = 10! / (10-3)! = 101 / 7! = 720

Para las letras V´ (27,3) = 27 a la 3= 19683

720*19683=14171760

Resuelva el numeral (d)

Si solo dos letras pueden repetirse Ej: [R A A 7 9 0] y los números son diferentes, cuantas placas pueden obtenerse?

2. PERMUTACIONES

Una permutación es...