ANALISIS DE FOURIER

Análisis de Fourier

Hasta el momento hemos estado analizando las señales como funciones en el tiempo. Ahora se cambiará a una tarea diferente, es decir, la representación de las señales en el dominio de la frecuencia. Las series de Fourier y la transformada de Fourier son dos herramientas matemáticas que nos ayudaran a transformar una función de tiempo en una función de frecuencia. Cuandoestemos trabajando con una función de tiempo, diremos que esta es una señal en el dominio del tiempo. Y cuando sea una función de frecuencia, será una señal en el dominio de la frecuencia. La representación de una señal en el dominio de la frecuencia es también llamada espectro de la señal (espectro de frecuencias). Ambas representaciones indican una misma señal. Para entender estos dos conceptospondremos una analogía, imaginemos un vector en un plano. Podemos representar el vector en coordenadas cartesianas:

Aquí las componentes del vector, Ax y Ay, son números que hacen referencia a las coordenadas cartesianas. Ahora veamos el mismo vector pero en coordenadas polares. En este caso tenemos:

Las componentes correspondientes a las coordenadas polares, y , por lo general son númerosdiferentes a Ax y Ay, pero hablamos del mismo vector, el mismo componente físico en un plano. Con este conocimiento acerca de vectores, se puede entender un poco lo que estaremos haciendo con series de Fourier y la transformada de Fourier. Una visualización diferente de una misma función o señal. Si tenemos alguna señal la cual es una función de tiempo, la llamamos x(t). En las próximas seccionesestaremos aprendiendo como obtener la transformada de Fourier de una señal, la cual es una función de frecuencia f . Y la escribimos como X(f). Tal como las dos expresiones de un vector en dos sistemas coordenados diferentes, la transformada de Fourier es la misma señal representada con respecto a la frecuencia; esto es, una señal con dos representaciones.

Series de Fourier

Empezaremos con nuestraexploración del análisis de Fourier considerando la representación de una señal dada por una serie trigonometrica. Representaciones de este tipo provienen del uso de separación de variables, técnicas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. En este libro no nos vamos a preocupar por esos detalles; el lector interesado puede consultar un texto acerca de ecuaciones diferenciales parciales.Para nuestro propósito estará en que solo tendremos el estado de la representación de la serie de Fourier de una señal periódica. Primero veamos un breve recordatorio de la definición de una señal periódica.
Decimos que una señal x(t) es periódica si hay algún valor T>0, tal como:
(4.1)

para todo valor de t. T es el periodo de la señal x(t) . La relacióndescrita en la ecuación 4.1 nos dice que una señal se repite ella misma por un intervalo definido. Cualquier señal periódica tiene muchos periodos (es bueno recordarlo aunque parezca obvio). También podemos encontrar un nuevo periodo simplemente multiplicando T por algún numero entero m, es decir,


El periodo de mas importancia para nosotros es el que tenga el valor mas bajo de T que podamostener (4.1). A este podemos llamarlo periodo fundamental, el cual lo podemos indicar como . Usando esta misma definición, podemos definir también la frecuencia fundamental como:
(4.2)
la cual es medida en hertz (Hz). La frecuencia angular fundamental no muy importante para elanálisis de señales, y es dada por .

Una señal periódica x(t) puede estar representada por la expansión de la serie de Fourier. Esta expansión es da por:
(4.3)
Nótese lo siguiente: Las funciones trigonometricas cos x y sen x tienen un periodo fundamental igual a . Considerando el primer término de la serie, donde podemos encontrar...