Analisis De Las Series De Fourier
Páginas: 360 (89825 palabras)
Publicado: 6 de septiembre de 2011
2
Análisis de Fourier
The material essential for a student’s mathematical laboratory is very simple. Each student should have a copy of Barlow’s tables of squares, etc., a copy of Crelle’s Calculation Tables, and a seven-place table of logarithms. Further it is necessary to provide a stock of computing paper, ...and lastly, a stock of computing forms for practical Fourier analysis. With thismodest apparatus nearly all the computation hereafter described may be performed, although time and labor may often be saved by the use of multiplying and adding machines, when these are available. E.T. Whitakker and G. Robinson, The calculus of observations, 19241 .
En este capítulo se revisan algunos conceptos del análisis de Fourier. Después de una breve reseña histórica, se recuerdan algunasnociones elementales de la serie de Fourier, que permite representar una señal periódica como una suma infinita de componentes sinusoidales. Se estudia luego la transformada de Fourier, que juega un papel similar en el análisis de las señales no periódicas, y es de aplicación más general que la serie. La motivación principal de la aplicación de la serie o la transformada es obtener el espectro deuna señal dada, que revela el contenido frecuencial de la misma. La descripción de la señal en el dominio frecuencial (o transformado) frecuentemente es más revelador que la representación original en función del tiempo.
2.1.
Reseña histórica
La historia2 del análisis de Fourier tiene más de 200 años. Sus orígenes principian unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste JosephFourier presentó la primera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la Academia de París (1807). El año 1750 es un buen punto de partida: Fernando VI era rey de España, y Jorge II de
1 “El material indispensable para el laboratorio matemático de un alumno es muy simple. Cada estudiante deberá tener una copia de la tabla de cuadrados de Barlow, una copia de las Tablas deCálculos de Crelle, y una tabla de logaritmos a siete decimales. Además, es necesario que cuente con papel borrador, y finalmente, un cuaderno para hacer análisis práctico de Fourier. Con este modesto equipamiento podrá realizar casi todos los cálculos descriptos aquí, aunque podrá ahorrar tiempo y esfuerzo utilizando máquinas de sumar y multiplicar, si están disponibles.” 2 Parte de esta reseña estáextractada de Briggs y Henson, 1995. En el Apéndice E se resumen las biografías de las principales personalidades que participaron en el desarrollo del análisis de Fourier y del procesamiento de señales en general.
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2. Análisis de Fourier
Inglaterra; las colonias de América del norte estaban en medio de las guerras con los nativos y los franceses; unos años después Carlos III creabael virreynato del Río de la Plata (1776). Voltaire, Rousseau y Kant estaban escribiendo sus libros en Europa; Bach acababa de morir, y Mozart estaba pronto a nacer; y el cálculo de Leibnitz y Newton, publicado 75 años antes, estaba permitiendo la creación de poderosas nuevas teorías sobre la mecánica celeste y la mecánica del continuo. En ese momento los esfuerzos de los físicos y matemáticos seconcentraban en dos problemas principales, que sentarían las bases de lo que posteriormente se conocería como análisis de Fourier: El problema de la cuerda vibrante o la propagación del sonido en un medio elástico; La determinación de las órbitas de los planetas a partir de mediciones.
2.1.1.
El problema de la cuerda vibrante
Una cuerda elástica (un alambre metálico) sujeta en ambosextremos, vibra al ser golpeada o punteada. Para simplificar el modelo se supondrá que la cuerda es un objeto unidimensional, ocupando el intervalo 0 x 1 en el plano x-y cuando está en reposo. En el tiempo t = 0 se desplaza de su posición inicial, manteniendo sus extremos fijos. La forma de la cuerda se puede expresar como el grafo de una función y = f ( x ), 0 x 1, con f (0) = f (1) = 0.
Apenas la...
Análisis de Fourier
The material essential for a student’s mathematical laboratory is very simple. Each student should have a copy of Barlow’s tables of squares, etc., a copy of Crelle’s Calculation Tables, and a seven-place table of logarithms. Further it is necessary to provide a stock of computing paper, ...and lastly, a stock of computing forms for practical Fourier analysis. With thismodest apparatus nearly all the computation hereafter described may be performed, although time and labor may often be saved by the use of multiplying and adding machines, when these are available. E.T. Whitakker and G. Robinson, The calculus of observations, 19241 .
En este capítulo se revisan algunos conceptos del análisis de Fourier. Después de una breve reseña histórica, se recuerdan algunasnociones elementales de la serie de Fourier, que permite representar una señal periódica como una suma infinita de componentes sinusoidales. Se estudia luego la transformada de Fourier, que juega un papel similar en el análisis de las señales no periódicas, y es de aplicación más general que la serie. La motivación principal de la aplicación de la serie o la transformada es obtener el espectro deuna señal dada, que revela el contenido frecuencial de la misma. La descripción de la señal en el dominio frecuencial (o transformado) frecuentemente es más revelador que la representación original en función del tiempo.
2.1.
Reseña histórica
La historia2 del análisis de Fourier tiene más de 200 años. Sus orígenes principian unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste JosephFourier presentó la primera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la Academia de París (1807). El año 1750 es un buen punto de partida: Fernando VI era rey de España, y Jorge II de
1 “El material indispensable para el laboratorio matemático de un alumno es muy simple. Cada estudiante deberá tener una copia de la tabla de cuadrados de Barlow, una copia de las Tablas deCálculos de Crelle, y una tabla de logaritmos a siete decimales. Además, es necesario que cuente con papel borrador, y finalmente, un cuaderno para hacer análisis práctico de Fourier. Con este modesto equipamiento podrá realizar casi todos los cálculos descriptos aquí, aunque podrá ahorrar tiempo y esfuerzo utilizando máquinas de sumar y multiplicar, si están disponibles.” 2 Parte de esta reseña estáextractada de Briggs y Henson, 1995. En el Apéndice E se resumen las biografías de las principales personalidades que participaron en el desarrollo del análisis de Fourier y del procesamiento de señales en general.
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2. Análisis de Fourier
Inglaterra; las colonias de América del norte estaban en medio de las guerras con los nativos y los franceses; unos años después Carlos III creabael virreynato del Río de la Plata (1776). Voltaire, Rousseau y Kant estaban escribiendo sus libros en Europa; Bach acababa de morir, y Mozart estaba pronto a nacer; y el cálculo de Leibnitz y Newton, publicado 75 años antes, estaba permitiendo la creación de poderosas nuevas teorías sobre la mecánica celeste y la mecánica del continuo. En ese momento los esfuerzos de los físicos y matemáticos seconcentraban en dos problemas principales, que sentarían las bases de lo que posteriormente se conocería como análisis de Fourier: El problema de la cuerda vibrante o la propagación del sonido en un medio elástico; La determinación de las órbitas de los planetas a partir de mediciones.
2.1.1.
El problema de la cuerda vibrante
Una cuerda elástica (un alambre metálico) sujeta en ambosextremos, vibra al ser golpeada o punteada. Para simplificar el modelo se supondrá que la cuerda es un objeto unidimensional, ocupando el intervalo 0 x 1 en el plano x-y cuando está en reposo. En el tiempo t = 0 se desplaza de su posición inicial, manteniendo sus extremos fijos. La forma de la cuerda se puede expresar como el grafo de una función y = f ( x ), 0 x 1, con f (0) = f (1) = 0.
Apenas la...
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