Analisis De Regresion

CAPITULO IV


ANÁLISIS DE REGRESIÓN


Consiste en emplear métodos estadísticos que determinen matemáticamente un modelo de la curva que más se ajusta a los datos.
Es decir: y = [pic]
Donde:
y = variable dependiente
x = variable independiente
f = función
Para elegir la relación funcional que más se ajusta a los datos lo 1ro que debemos hacer es el diagramade dispersión.

Diagrama de Dispersión.- Es la gráfica de los valores (xi , yi) este diagrama permite visualizar la tendencia que siguen los puntos ya sea lineal, exponencial, etc.




En base a la tendencia que siguen los datos nosotros analizamos los diferentes tipos de regresión.

1. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL.- Es aquel análisis cuando la relación entre “x” e “y” es de tipo lineal.Matemáticamente el modelo será:



Donde:

Si tenemos un diagrama de dispersión lineal y si asumimos un modelo de estimación de la forma:

Tendremos:








Para que el modelo estimado [pic], este muy próximo al modelo real [pic], nosotros debemos minimizar el error.
Tomando una observación el error será [pic].
← Luego la recta que mejor se ajusta será aquellaque minimice la suma cuadrado del error:

Es decir:


← Para hallar los estimadores “a” y “b” que hagan mínimo el error se estimara de:


Hallando:




Primera ecuación normal




Reemplazando:







Segunda ecuación normal


2. REGRESION EXPONENCIAL.- Cuando el diagrama de dispersión se nos presenta en la siguiente forma:







← El modelo serálinealizado tomando logaritmo natural y/o función logaritmo.









← La estimación de a* y b* se halla igual que la regresión lineal simple de las ecuaciones:



La regresión exponencial se presenta en muchos problemas de Física, Química Economía. Etc.
3. MODELO POTENCIAL.- Si se presenta un modelo [pic] la manera de linealizarlo es mediante ln y/o log.Las ecuaciones serán:



COEFICIENTE DE DETERMINACION (r2). - Es aquella medida conocida también como coeficiente de bondad de ajuste ya que indica en que porcentaje se ajusta la línea de regresión al conjuntos de datos.




Gráficamente:













Gráficamente el coeficiente de determinación se observa:













Se sabe:






Luego:Coeficiente de no Determinación (1 – r2).- Nos indica el % porcentaje de la variación de y que no depende de la variación de “x”, su variación se debe a los factores aleatorios.

Coeficiente de correlación [pic].- Mide el grado de asociación entre “x” e “y”.
En la regresión múltiple:



4. REGRESIÓN POLINOMIAL:


Se aplica cuando en el diagrama de dispersión los puntos no siguenuna tendencia lineal sino una tendencia curva. Ya sea de 2do grado, 3ro grado, etc.




















Luego:
Hallando la primera ecuación normal:
Como:





De igual forma:


Luego tendremos:




Nosotros veremos el caso especial de regresión polinomial (2do grado).

1. REGRESIÓN POLINOMIAL (Segundo Grado). -
Gráficamente:Expresando matricialmente tenemos:



Del modelo:

Matricialmente será:

Luego:
← Ejemplo (n = 4)











Para hallar los [pic] matricialmente, aplicamos el método de los mínimos cuadrados:





Para (n = 4)
Hallamos(x’x) y (x’y)










luego:




















El vector decoeficiente será:




El modelo matricial será:



REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Sean x1, x2, ..................., xP, p variables independientes, y una variable aleatoria que depende de las “k” variables independientes.
El método matemático de regresión lineal múltiple es:

El problema al igual que en la regresión lineal es estimar los parámetros [pic], esto se halla...