Analisis Dimensional

El análisis dimensional

El análisis dimensional es un método de análisis que parte de la premisa que debe existir una relación dimensionalmente homogénea entre las variables involucradas en la descripción de un fenómeno físico.
El método presenta ventajas y desventajas:

Ventajas:
- Permite abordar problemas complejos
- Requiere de información mínima
- Simplifica la investigación,reduciendo la experimentación

Desventajas:
- Entrega una solución incompleta del problema en estudio
- No se gana un conocimiento respecto al mecanismo del
Fenómeno estudiado.
Para describir cualquier fenómeno físico, necesitamos referirnos a ciertos conceptos o entidades físicas, tales como fuerza, masa, velocidad, aceleración, tiempo, temperatura, etc. Para cada una de estas entidades físicasse ha aceptado una unidad de medida.

Unidades fundamentales y unidades derivadas

Hay ciertas entidades físicas que son independientes entre sí y sus unidades han sido aceptadas por acuerdos internacionales. Ellas corresponden a las unidades
fundamentales. Ejemplos de ellas son longitud (L), masa (M), tiempo (T), carga eléctrica (Qe), temperatura (Q), etc.

Las unidades fundamentalesdeterminan las unidades de otras entidades físicas llamadas unidades derivadas, por ejemplo, velocidad, aceleración fuerza, energía, etc.

La selección de las unidades fundamentales es arbitraria. De este modo, podemos elegir como unidad fundamental masa o fuerza indistintamente, pero las unidades derivadas variarán, dependiendo de cual haya sido la unidad fundamental elegida.

Por ejemplo, energíatendrá unidades de (masa) ´ (longitud / tiempo)2, o de (fuerza) ´ (longitud), dependiendo de la elección hecha.

Dimensión: Código que nos indica cómo varía el valor numérico de una cierta entidad derivada, cuando conocemos la variación de las unidades fundamentales.

Una magnitud física tiene dos componentes. La unidad de medida y la magnitud o cuantía, que es la relación entre el valor dela magnitud y la unidad de medida elegida.

En general hay confusión con el término dimensión. A veces se emplea indistintamente para designar las entidades [M], [L], [T],... (verdadera acepción) y otras veces se usa para expresar la magnitud o cuantía.

Las unidades derivadas se expresan como relaciones monomias de las unidades
fundamentales. Es así como la velocidad tiene dimensiones de[L][T]-1, la aceleración de [L][T]-2, etc. Si tenemos r unidades fundamentales x1, x2, ..., xr, entonces, las unidades derivadas se expresarán como [D] = [x1]a [x2]b ...[xr]r .

Por ejemplo, si elegimos [M], [L] y [T] como unidades fundamentales, la unidad de energía será [E] = [M][L]2 [T]-2.

TEOREMA DE BUCKINGHAM

El número de parámetros adimensionales que pueden ser empleados paradescribir un fenómeno conocido entre n variables es igual a (n-r), siendo r el número de dimensiones fundamentales que comprometen las variables del fenómeno.
En otras palabras: Si una cierta variable a1 de un fenómeno físico depende de otras (n-1) a través de la relación funcional
f(a1, a2, ..., an) = 0 donde [ai] = [x1]a [x2]b ...[xr]r, i = 1, 2, ..., n, con al menos un exponente distinto de cero,entonces este fenómeno puede expresarse en términos de una relación funcional que contiene (n-r) parámetros adimensionales.

f(p1, p1, ... , pn-r) = 0

donde [pi] = 1, i = 1, ..., (n-r).

Ejemplo
Determinar el espesor de una capa límite laminar sobre una placa plana.

De la física del problema, se ve que las variables involucradas en el fenómeno del
crecimiento de la capa límite laminarson: el espesor de la capa límite (d), la distancia desde el comienzo de la placa (x), la velocidad del flujo sin perturbar (U0 ) y la viscosidad del fluido (n).

(Notar que si no sabemos la física del fenómeno, no es mucho lo que
podemos avanzar en el análisis. Las razones por qué las cuatro variables antes
mencionadas son relevantes en el análisis son relevantes.

Las dimensiones de las...