Analisis Estructural Matricial

MIGUEL CHANG HEREDIA INGENIERO CIVIL
CONTENIDO

I)

ALGEBRA DE MATRICES

II) PROGRAMA CAL – 86

III) ANÁLISIS MATRICIAL APLICADO AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

1) NOCIONES GENERALES

2) ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

3) MATRIZ DE EQUILIBRIO

4) MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

5) MATRIZ DE COMPATIBILIDAD

6) MATRIZ DE RIGIDEZ

IV) MÉTODO DE RIGIDEZ DIRECTO

V) ANÁLISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS-

PROBLEMA PRIMARIO

-

PROBLEMA COMPLEMENTARIO

VI) MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS RÍGIDOS (PLACAS) VII) APLICACIÓN DEL PROGRAMA CAL – 86 EN EL CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

VIII) MATRIZ DE CONECTIVIDAD

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

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I) ÁLGEBRA DE MATRICES

SIMBOLOGÍA.- Sea la siguiente matriz:

a11 Amxn a21  am1a12 a22  am 2

 a1n  a2 n  amn

Donde: m – número de filas n – número de columnas ( ) - Representación de una matriz - Representación de un determinante Amxn - Matriz A amn – Elemento m.n de una matriz

TIPOS DE MATRICES a) M. SIMÉTRICA: o matriz cuadrada

S

a12 a12 a21 amn

Sea:

Smxn  aij = aij

i,j

b) M. COLUMNA: o Vector columna:

Q

Q1 Q2  Qn

Q1 Q2  Qn

c) M.FILA: o Vector fila:

F

F1, F2 ,...Fn

F1, F2 ,...Fn

d) M. BANDA: (matriz cuadrada)

b11 B CEROS
e) M. IDENTIDAD:
1 1

CEROS b22  bmn
, bmn ≠ 0

CEROS

1 ANALISIS I mn MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 1
CEROS

1

mn

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f)

M. NULA:

N

0

o o o o

g) M. DIAGONAL:

d1 D D d2 di dn
donde: dij = 0 dij ≠ 0 , , i ≠ j  Todoelemento fuera de la diagonal es cero i , dn = dij di = dii

OPERACIONES CON MATRICES MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: - sea un escalar A – una matriz

a11 A a21  am1

a12 a22 

 

a1n a2 n  amn

am 2 

SUMA DE MATRICES Sea Amxn y Bmxn Matrices:

a11 b11 C A B a21 b21 

a12 b12 a22 b22 



a1n b1n

 a2 n b2 n 

am1 bm1 am 2 bm 2  amn bmn

PRODUCTO DE UN VECTOR FILAPOR UN VECTOR COLUMNA

F

F1, F2 ,...Fn

C

C1 C2  Cn

F . C = F1C1 + F2C2 + F3C3 + … + FnCn 
n

F C Fi.Ci ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS L 1

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MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sean las matrices: Amxn y Bmxn, entonces el producto de 2 matrices es doble. la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B.  Amxn x Bnxp = Cmxp el número decolumnas de

MATRIZ TRANSPOSICIÓN Sea:

(ADJUNTA): A

T

A

a11

a12

a21 a22

AT

a11

a12

a21 a22

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ( A ) Sea la matriz:

a11 A a31
Por lo tanto:

a12 a32

a13 a23 a33
3 x3

a21 a22

A

a11

a22 a32

a23 a33

a12

a21 a31

a23 a33

a13

a21 a31

a22 a32

A

UN NÚMERO
A
c

MATRIZ COFACTOR: Sea:

a B c cd e f

g h i B
c

b11 b31

b12 b32

b13 b23 b33

b21 b22

donde:

b11

e f

h i

,

b32

a g b h



MATRIZ INVERSA (A-1) Sea B una matriz: B - determinante de la matriz B

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

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Bc- matriz cofactor. Bc
T

– matriz transpuesta de una matriz cofactor.

B

1

Bc B

T

ANALISIS MATRICIALDE ESTRUCTURAS

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PROPIEDADES CON MATRICES - Escalar , A , B , C - Matrices A+ B

(A + B) =

A (C + D)= A . C + A . D A =( A)
T T T T

(A . B) = B . A A+B= B+A A.B ≠ B.A

T

A . B . C = (A . B) . C = A . (B . C)

AGRUPACIÓN DE MATRICES - SUBMATRICES Sea:

a11 A

a1r

 

a1r a pr A11 A12 A21 A22

a p1 a pr   am1 amr

 amn

Sea:B

b1 b2 b1 b2 c11 c21

C

c11 c21 c12 c2

c12 c22

D

B

C

Ejercicios: 1) Sean las matrices: F = 4 8 -3

2 C 10 0

A

2 3 4 1 0 7
B

3 10 0 4 5 1

2 0 4 ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

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-2
Hallar: a)

F C

4 8 - 3 10 0

4(-2) 8(10) (-3)(0)

Por lo tanto: F . C = 72 b) A.B  2 1 3 0 4 7 26 17 3 4 2 Donde: 26 = (...