APLICACIÓN DE LA ALGEBRA MATRICIAL EN EL ANALISIS ESTRUCTURAL

INTRODUCCION
Los métodos de calculo matricial (CM) de estructuras son un conjunto de métodos que tienen en común organizar toda la información en forma de matrices. En estos métodos, todas las relaciones entre las distintas partes de una estructura dan lugar a sistemas de ecuaciones con un alto número de variables pero donde no se han realizado suposiciones o simplificaciones en las que sepierda información relevante. Esta generalidad, junto a la estructura de la información en matrices, permite que su planteamiento y resolución pueda ser ejecutada de manera automática por medio de programas de ordenador, lo que ha hecho que en la actualidad sean la práctica habitual en la ingeniera. En el presente texto se va a desarrollar el denominado método de la rigidez de cálculo matricial,aplicado a estructuras bidimensionales formadas por barras y vigas. Este mismo esquema puede ser extendido a otras formas de discretica una estructura o un medio continuo. De hecho, el método de los Elementos Finitos es la extensión del método de CM donde se trata con elementos que no son solo barras, sino volúmenes de distintas formas geométricas que modelan un mayor numero de problemas mecánicos ofísicos.

En todo el desarrollo del método aceptaremos las hipótesis generales en las que normalmente se desarrolla la Teorıa de Estructuras, esto es, comportamiento elástico y lineal del material y estado de pequeños desplazamientos.

Aunque el calculo matricial esta pensado para que las ecuaciones finales las resuelva un ordenador, existe un paso fundamental que es responsabilidad del calculistay que no podrá ser realizada por un ordenador. Se trata de la modelización matemática del problema y de su correcta discretización. El cálculo puede estar bien realizado pero de nada sirve si el problema no responde a la realidad que pretendemos representar.

En CM, el proceso de modelado y desratización, aunque siempre esta presente en los otros métodos de cálculo de estructuras, en este casoes mucho más explicito y repercute de manera muy directa en los resultados que podemos extraer.

El concepto de desratización debe ser establecido de manera precisa. Consiste en la representación del comportamiento de un medio continuo (la estructura) por medio de un conjunto finito de variables, en nuestro caso fuerzas aplicadas sobre el solido y desplazamientos. Este número finito de variablesson los desplazamientos en cada uno de los grados de libertad (gdl) de un sistema.

Determinar dichos grados de libertad y establecer todas sus relaciones son el punto de partida a partir del cual se resolvera el problema. El CM solo aportara información en esos gdl, cualquier información adicional exigirá un paso adicional de interpretación de los resultados directos.

1.- DEFINICION

Sepuede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Lasmatrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Para designar una matriz seemplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.

Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.

Si el número de filas y de columnas es igual (m =...