analisis fractal

3. MATERIAL, MÉTODOS Y CONCEPTOS TEÓRICOS

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3.3. ANÁLISIS FRACTAL Y MULTIFRACTAL
3.3.1. Introducción
En el medio ambiente, así como en flujos complejos donde el número de Reynolds es lo
suficientemente alto, debido a la no-linealidad de las interacciones fluidas, se generan múltiples escalas que
se detectan tanto en las velocidades como en la estructura de los campos escalares, como enla
temperatura, la concentración de trazadores, la densidad, etc. Es interesante poder relacionar de alguna
forma las características geométricas o topológicas de observaciones de imágenes del flujo en estudio con
sus propiedades físicas y su dinámica.
En la figura 3.3.1 se muestra como ejemplo una curva fractal denominada Curva de Koch,
generada en iteraciones sucesivas con un perímetro 4/3mayor que en el paso anterior, lógicamente con un
gran número de iteraciones, la longitud tiende a infinito y sin embargo está conteniendo un área finita. La
dimensión Euclídea de un objeto relaciona la unidad de medida utilizada con el valor geométrico medido
N(L) = (1/L)D, donde 1/L corresponde al número de unidades comprendidas en uno de los lados, D
corresponde a 1 para una recta, 2 parauna superficie y 3 para un volumen. Si se generaliza la utilización
del concepto de la dimensión D a los números fraccionarios obtenemos una dimensión fractal. El cálculo
de la dimensión fractal se basa en la correspondiente medición del número de recubrimientos o cajas
necesarias para cubrir un determinado conjunto (línea, superficie o volumen) N(L) en función de la escala
L de losrecubrimientos (o cajas). El correspondiente cálculo de la dimensión fractal, D, es sólo válido en
el rango en el que la relación entre N y L es potencial y está bien definida mediante la expresión:
D = log ( N(L) ) / log ( 1/L)

(3.3.1)

Esta expresión es equivalente a otra más usual de la siguiente forma (Mandelbrot, 1983; Peitgen,
1992):
D = - log( N(L) ) / log (L)

(3.3.2)

10000

N(d
)1000

100

y = a+bx
a = 0,7481
b = 1,267
r2 = 0,998

10

1
1

10

100

1000

L/ d

Figura 3.3.1. Izquierda, curva de Koch con una superposición de cajas. Derecha, caracterización log-log para la
obtención de la dimensión fractal. El último punto no se utiliza en la regresión ya que corresponde a una escala d del
tamaño de un píxel, presentando una saturación en el cálculode N(d).

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El problema de la implementación de esta metodología con datos experimentales es el cálculo de
N(L). También es necesario considerar la identificación del conjunto que se quiere analizar, por ejemplo,
definiendo el nivel de intensidad de los puntos que pertenecen al conjunto que nos interesa.
El método Box-Counting propone larealización de este cálculo de la siguiente manera:
La zona de análisis tiene un lado L, se escoge un tamaño de caja de lado δ que también puede
normalizarse con una escala característica del flujo. A partir de cajas de esta medida se realiza un
recubrimiento de toda la imagen correspondiente al fenómeno a analizar. Se cuenta el número de cajas que
“interseccionan” con la entidad de estudio, estevalor se asigna a N(δ) y se repite el proceso para todos los
valores de la escala de longitud δ i posibles obteniendo los valores correspondientes N(δ i). Usualmente se
divide la caja inicial entre 2, 3, 4, etc., hasta el número de píxeles. La existencia de una dimensión fractal
única se demuestra con una buena correlación de la recta de regresión de los puntos log (N (δ i) ) respecto
log (δi).En el caso de fenómenos turbulentos, el hecho de que se desarrolle una cascada de energía entre
las escalas de la producción y las escalas donde se produce la disipación, (que ocurre de forma distinta si
el flujo dominante es tridimensional o bidimensional, donde se produce también una cascada inversa de
energía), favorece la aparición de estructuras fractales.
Independientemente del tipo...