analisis movimiento armonico simple

ASIGNATURA DE MÉTODOS MATEMÁTICOS



ANÁLISIS ARMÓNICO. APLICACIONES




César Álvarez Pérez
Número de expediente 00015







Madrid, Junio 2007


INTRODUCCIÓN

El análisis armónico es un método de análisis que se sustenta en una base matemática para estudiar señales o funciones equiparándolas a una serie de ondas básicas, que superpuestas dan lugar a la onda motivo deestudio.
Su sustento básico son las Series de Fourier y Transformada de Fourier, donde cada una de las ondas base componentes se llama armónico (de ahí viene el nombre de esta disciplina) aunque están sujeta a ella también otros procedimientos como análisis mediante wavelets u otro tipo de transformada (transformada discreta de coseno, transformada Zak, transformada Gabor,…).
Su desarrollo tienelugar a partir de principios-mediados del s. XIX (Fourier publica en 1922 su “Teoría analítica del Calor”) y no dejan de surgir ámbitos donde se hace netamente importante su aplicación (alguno tan actual como el marco del gran desarrollo de las telecomunicaciones en que vivimos).



ORÍGENES

Podemos situar un precedente al análisis armónico ya en la antigua Grecia, alrededor del s. V a.C.con Pitágoras. Éste observó cómo al pisar una cuerda de cítara exactamente por la mitad de su longitud daba la misma nota una octava más alta, al pisarla por dos tercios daba la quinta de la nota, al ser por tres cuartos daba la cuarta… y fue entre otras cosas el ver como algo tan aparentemente apartado como la música estaba regido por los números lo que le llevo a pensar que el universo enteroestaría regido por las leyes de éstos.
Ya con la matemática más avanzada del s. XVIII, Taylor resuelve el problema del movimiento de una cuerda tensa (ecuación diferencial de la cuerda vibrante o también ecuación de ondas unidimensional); aunque el problema de la cuerda vibrante seguiría coleando e impulsando con él un gran desarrollo para las matemáticas. Así, Johann Bernoulli contribuye con sus“Meditaciones sobre cuerdas vibrantes con pesos pequeños a distancias iguales” y unos años más tarde D’Alembert halla la forma general de la solución de la ecuación de ondas,
y= f(t+s) + g(t-s). A demás, D’Alembert introduce la idea de que "existe una infinidad de curvas distintas de la sinusoidal" entre las posibles formas de la cuerda vibrante, idea trabajada más a fondo por Euler; y DanielBernoulli concine la idea de que una expresión analítica, tal como la combinación lineal infinita en senos y cosenos, puede coincidir dentro de un cierto intervalo con una de sus curvas mecánicas.

La verdadera revolución llega con la “Teoría Analítica del calor” de Fourier en 1822 que da pie realmente al análisis armónico, aunque el tratado fue rechazado varias veces en la Academia de lasCiencias merced a la oposición de Lagrange por su falta de rigor y oscuridades que parcialmente fueron siendo despejadas por Dirichlet, Riemann,…

Esta nueva forma herramienta tiene gran éxito en la comunidad científica al mostrarse especialmente válida para abordar numerosos fenómenos de la naturaleza que, igualmente, presentan invarianza respecto al tiempo (da igual en qué momento se presente elfenómeno) y linealidad, al menos en primera aproximación (la respuesta a un estímulo es suma de respuestas a estímulos elementales).




BREVE APUNTE SOBRE TRANSFORMADAS


La transformada es una “operación matemática que convierte una función de un dominio al otro, sin pérdida de información”. Tal operación debe cumplir una serie de propiedades como relacionar conjuntos funcionales (cuyoscomponentes sean funciones), ser aplicación lineal y respetar las estructuras topológicas de los conjuntos a los que relaciona.

De la infinidad de transformadas existentes, son objeto de estudio aquellas que o bien están asociadas a alguna propiedad de aquello a que representan o bien simplifican la resolución de algún problema (o cumplen ambos requisitos). Así, una transformada como es la...