Analisis numerico

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Sucesiones y series
5.1 Sucesiones numéricas
5.1.1 Las sucesiones numéricas vistas como ∞-tuples

5

Recordemos que R2 es el conjunto de pares oredenados de números reales, es decir que sus elementos tienen la forma (a1 , a2 ), donde a1 ∈ R y a2 ∈ R.

Por ejemplo, (2, −3), (−π, 1), (3, 3) ∈ R2 . Análogamente, R3 es el conjunto de tríos o tripletas ordenadas de números reales, por lo quesus elementos tienen la forma a1 ∈ R, a2 ∈ R y a3 ∈ R. √ Por ejemplo, (2, −1, −1) ∈ R3 , (− π , cos π , 91) ∈ R3 , etc. 2 4 El conjunto R4 será el conjunto de cuádruples ordenados de la forma (a1 , a2 , a3 ), donde (a1 , a2 , a3 , a4 ), donde a1 ∈ R, a2 ∈ R, a3 ∈ R y a4 ∈ R;

R5 es el conjunto de quíntuples ordenados de la forma a1 ∈ R, a2 ∈ R, a3 ∈ R, a4 ∈ R y a5 ∈ R; √ etc. Por ejemplo, (1, 0,0, 1) ∈ R4 , (1, 1, 2, 2, 3) ∈ R5 , (−π, 1, 2, 1, 5, −7) ∈ R6 , etc. En general Rn , n ∈ N, tiene como elementos n-tuples ordenados de números reales, que tendrán la forma (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), donde (a1 , a2 , . . . , an ), con a1 ∈ R, a2 ∈ R, . . . , an ∈ R.

n Por ejemplo, (2, 4, 6, . . . , 2n) ∈ Rn , ( 1 , 2 , 3 , . . . , n+1 ) ∈ Rn , etc. 2 3 4 Generalizando este concepto de n-tuples,podemos considerar elementos formados por una infinidad de números reales ordenados que se los puede escribir

(a1 , a2 , a3 , . . .),

donde

a1 ∈ R, a2 ∈ R, a3 ∈ R . . . .

En vez de llamarlos ∞-tuples de números se les denomina sucesiones numéricas y el conjunto de ellos lo notaremos R∞ .

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Sucesiones y series

Por simplicidad de escritura se escribe (an ) o (an )n≥1 Ejemplos:(an ) = n n+1 = 1 2 3 , , ,... 2 3 4 ∈ R∞ ; (3n) = (3, 6, 9, 12, . . .) ∈ R∞ ; etc. en vez de (a1 , a2 , a3 , . . .).

5.1.2 Las sucesiones como funciones
Si (a1 , a2 ) ∈ R2 , se puede considerar la función a : {1, 2} −→ R , n −→ a(n) donde a(1) = a1 , a(2) = a2 . Análogamente, a (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 esta asociada la función a : {1, 2, 3} −→ R n −→ a(n) = an
def

,

y a (a1 , a2 , . . . ,an ) ∈ Rn asociamos la función a : {1, 2, . . . , n} −→ R n −→ a(n) = an
def

.

De manera similar a toda sucesión (an ) ∈ Rn asociamos la función a : N −→ R n −→ a(n) = an
def

.

Algunos autores definen por ello a una sucesión numérica, digamos (xm ), como la función x : N −→ R . m −→ xm Notemos que para definir una función f : A → B, es irrelevante el símbolo que se use pararepresentar a las variables independiente y dependiente. Las fórmulas y = f (x) o t = f (s) definen a la misma función f . Por ello da lo mismo escribir (xn ) o (xm ) o (xk ). Una sucesión (xn ) ∈ R∞ , al ser interpretada como una función x : N → R, x → xn , es un caso particular de funciones reales de la forma f : D(f ) ⊂ R → R. En este caso (xn ) ∈ R∞ es la función x : D(x) = N ⊂ R → R. Como tal puede sergraficada en el plano cartesiano como cualquier función. Abajo constan las gráficas de (xn ) = [[ Aquí va la Fig. 1 ]] 2n + 1 n+2 = 5 7 1, , , . . . 4 5 y (ym ) = (cos((m + 1)π) + 1) = (2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .).

5.1 Sucesiones numéricas

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5.1.3 Sucesiones acotadas, de Cauchy y convergentes
Dado un conjunto A ⊂ R definimos ya lo que significa A es acotado por arriba (o por abajo), A esacotado, sup A, ´ A, m´x A, m´ A. Con estos conceptos claros, dada una función ınf a ın f : D(f ) ⊂ Ω → R, con Ω = ∅, puesto que Im(f ) ⊂ R, se dice que: 1. f es acotada por arriba (por abajo) si Im(f ) lo es. 2. f es acotada si Im(f ) lo es. 3. sup f (x) = sup Im(f ),
x∈Ω def def x∈Ω

´ f (x) = ´ Im(f ). ınf ınf

def

4. m´x f (x) = m´x Im(f ) si este existe, a a
x∈Ω

m´ f (x) = m´ Im(f )si este existe. ın ın
x∈Ω

def

Se puede notar que 1. f : D(f ) ⊂ Ω → R es acotada por arriba si existe C2 ∈ R tal para todo x ∈ D(f ), f (x) ≤ C2 . 2. f : D(f ) ⊂ Ω → R es acotada por abajo si existe C1 ∈ R tal para todo x ∈ D(f ), C1 ≤ f (x). 3. f : D(f ) ⊂ Ω → R es acotada ⇔ existen C1 , C2 ∈ R tales que para todo x ∈ D(f ), C1 ≤ f (x) ≤ C2 , f : D(f ) ⊂ Ω → R es acotada ⇔ existe R > 0...
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